fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פולינומים ממעלה שלישית בשאיפה למספר סופי – תרגיל 5902

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow -2} \frac {x^3 +6 x^2 +11x + 6} {x^3 +4x^2+x - 6}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow -2} \frac {x^3 +6 x^2 +11x + 6} {x^3 +4x^2+x - 6}=\frac{1}{3}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = -2

ונקבל:

\frac {{(-2)}^3 +6 \cdot {(-2)}^2 +11\cdot (-2) + 6} {{(-2)}^3 +4\cdot {(-2)}^2+(-2) - 6}=\frac{0}{0}

קיבלנו “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

כאשר הפונקציה היא פונקציה רציונלית, כלומר מנה של פולינומים, והצבה נותנת 0\0 (= שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס) – במקרה כזה, ננסה לפרק את הפולינומים לגורמים, וכך לצמצם את הגורם שגרם לאפס בהצבה. 

הסבר: שימו לב שמכיוון שההצבה נתנה אפס, בהכרח המספר שהצבנו הוא שורש של הפולינום, ולכן הגורם:

(x +2)

בהכרח יופיע בפירוק של הפולינום לגורמים.

לכן, נעשה חילוק פולינומים – נחלק את הפולינום בגורם לעיל. החילוק יסתיים ללא שארית, והתוצאה של החילוק תהיה פולינום ממעלה שנייה. נקבל:

\lim _ { x \rightarrow -2} \frac {x^3 +6 x^2 +11x + 6} {x^3 +4x^2+x - 6}=

=\lim _ { x \rightarrow -2} \frac {(x+2)(x^2+4x+3)} {(x+2)(x^2+2x-3)}=

נצמצם ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow -2} \frac {x^2+4x+3} {x^2+2x-3}=

נציב שוב:

x = -2

ונקבל:

=\frac {{(-2)}^2+4\cdot (-2)+3} {{(-2)}^2+2\cdot (-2)-3}=

=\frac {4-8+3} {4-4-3}=

=\frac {-1} {-3}=

=\frac {1} {3}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה