fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פולינומים ממעלה שלישית בשאיפה למספר סופי – תרגיל 5896

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 1} \frac {x^3 - 1} {2x^2-x-1}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 1} \frac {x^3 - 1} {2x^2-x-1}=1

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 1

ונקבל:

\frac {1^3 - 1} {2\cdot 1^2-1-1}=\frac{0}{0}

קיבלנו “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

כאשר הפונקציה היא פונקציה רציונלית, כלומר מנה של פולינומים, והצבה נותנת 0\0 (= שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס) – במקרה כזה, ננסה לפרק את הפולינומים לגורמים, וכך לצמצם את הגורם שגרם לאפס בהצבה. 

הסבר: שימו לב שמכיוון שההצבה נתנה אפס, בהכרח המספר שהצבנו הוא שורש של הפולינום, ולכן הגורם:

(x - 1)

בהכרח יופיע בפירוק של הפולינום לגורמים.

לכן, בתרגיל שלנו נעשה חילוק פולינומים לפולינום במונה- נחלק את הפולינום בגורם לעיל. החילוק יסתיים ללא שארית, והתוצאה של החילוק תהיה פולינום ממעלה שנייה. נקבל:

\lim _ { x \rightarrow 1} \frac {x^3 - 1} {2x^2-x-1}=

=\lim _ { x \rightarrow 1} \frac {(x-1)(x^2+x+1)} {2x^2-x-1} =

במכנה יש לנו פולינום ריבועי, לכן נמצא את השורשים שלו בעזרת נוסחת השורשים ונקבל שהפירוק לגורמים שלו הוא

=\lim _ { x \rightarrow 1} \frac {(x-1)(x^2+x+1)} {(x-1)(2x+1)} =

נצמצם:

=\lim _ { x \rightarrow 1} \frac {x^2+x+1} {2x+1} =

נציב שוב x=1 ונקבל:

=\frac {1^2+1+1} {2\cdot 1+1} =

=\frac {3} {3} =

=1

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה