fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פולינומים ממעלה שלישית בשאיפה למספר סופי – תרגיל 5911

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 2} \frac {{(x^2-x - 2)}^{20}} {{(x^3-12x+16)}^{10}}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 2} \frac {{(x^2-x - 2)}^{20}} {{(x^3-12x+16)}^{10}}={(\frac{3}{2})}^{10}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 2

ונקבל:

\frac {{(2^2-2 - 2)}^{20}} {{(2^3-12\cdot 2+16)}^{10}}=\frac{0}{0}

קיבלנו “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

כאשר הפונקציה היא פונקציה רציונלית, כלומר מנה של פולינומים, והצבה נותנת 0\0 (= שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס) – במקרה כזה, ננסה לפרק את הפולינומים לגורמים, וכך לצמצם את הגורם שגרם לאפס בהצבה. 

הסבר: שימו לב שמכיוון שההצבה נתנה אפס, בהכרח המספר שהצבנו הוא שורש של הפולינום, ולכן הגורם:

(x - 2)

בהכרח יופיע בפירוק של הפולינום לגורמים.

לכן, בתרגיל שלנו נעשה חילוק פולינומים לפולינום במכנה- נחלק את הפולינום בגורם לעיל. החילוק יסתיים ללא שארית, והתוצאה של החילוק תהיה פולינום ממעלה שנייה. נקבל:

\lim _ { x \rightarrow 2} \frac {{(x^2-x - 2)}^{20}} {{(x^3-12x+16)}^{10}}=

=\lim _ { x \rightarrow 2} \frac {{(x^2-x - 2)}^{20}} {{((x-2)(x^2+2x-8))}^{10}}=

כעת יש לנו פולינום ריבועי במכנה ובמונה. נפרק את שניהם לגורמים בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 2} \frac {{(x-2)(x+1)}^{20}} {{((x-2)(x-2)(x+4))}^{10}}=

נצמצם:

=\lim _ { x \rightarrow 2} \frac {{(x+1)}^{20}} {{(x+4)}^{10}}=

נציב שוב x=2 ונקבל:

=\frac {{(2+1)}^{20}} {{(2+4)}^{10}}=

=\frac {3^{20}} {6^{10}}=

=\frac {3^{20}} {3^{10}\cdot 2^{10}}=

=\frac {3^{10}} {2^{10}}=

={(\frac {3}{2})}^{10}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה