fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פולינומים ממעלה שלישית בשאיפה למספר סופי – תרגיל 5914

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow -1} \frac {x^3+1} {x^2-1}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow -1} \frac {x^3+1} {x^2-1}=-\frac{3}{2}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = -1

ונקבל:

\frac {{(-1)}^3+1} {{(-1)}^2-1}=\frac{0}{0}

קיבלנו “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

כאשר הפונקציה היא פונקציה רציונלית, כלומר מנה של פולינומים, והצבה נותנת 0\0 (= שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס) – במקרה כזה, ננסה לפרק את הפולינומים לגורמים, וכך לצמצם את הגורם שגרם לאפס בהצבה. 

הסבר: שימו לב שמכיוון שההצבה נתנה אפס, בהכרח המספר שהצבנו הוא שורש של הפולינום, ולכן הגורם:

(x +1)

בהכרח יופיע בפירוק של הפולינום לגורמים.

לכן, בתרגיל שלנו נשתמש בנוסחאות הכפל המקוצר כדי לפרק את הפולינומים לגורמים. נקבל:

\lim _ { x \rightarrow -1} \frac {x^3+1} {x^2-1}=

=\lim _ { x \rightarrow -1} \frac {(x+1)(x^2-x+1)} {(x+1)(x-1)}=

נצמצם ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow -1} \frac {x^2-x+1} {x-1}=

נציב שוב x=-1 ונקבל:

=\frac {{(-1)}^2-(-1)+1} {-1-1}=

=\frac {1+1+1} {-1-1}=

=\frac {3} {-2}=

=-\frac {3} {2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה