תרגיל
חשבו את הגבול:
\lim _ { x \rightarrow 4 } \frac {x^2 - 6 x +8} {x^2 - 5 x + 4}
תשובה סופית
פתרון מפורט
דבר ראשון, נציב בפונקציה:
x = 4
ונקבל:
\frac {4^2 - 6 \cdot 4 +8} {4^2 - 5 \cdot 4 + 4}=\frac{0}{0}
קיבלנו “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.
טיפ: כאשר הפונקציה היא פונקציה רציונלית, כלומר מנה של פולינומים, והצבה נותנת 0\0 (= שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס) – במקרה כזה, נפרק את הפולינומים לגורמים, וכך נצמצם את הגורם שגרם לאפס בהצבה.
נפרק לגורמים את הפולינומים במונה ובמכנה בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 4 } \frac {x^2 - 6 x +8} {x^2 - 5 x + 4}=
=\lim _ { x \rightarrow 4 } \frac {(x-2)(x-4)} {(x-1)(x-4)}=
כעת, קל לראות למה קיבלנו 0\0 בהצבה, ואיך לצאת ממצב זה – פשוט לצמצם את הגורם הבעייתי:
=\lim _ { x \rightarrow 4 } \frac {x-2} {x-1}=
נציב שוב x=4 ונקבל:
=\frac {4-2} {4-1}=
=\frac {2} {3}
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
