fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- מנה של פונקציות עם שורשים – תרגיל 5921

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{3+x+x^2}-\sqrt{9-2x+x^2}}{x^2-3x+2}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{3+x+x^2}-\sqrt{9-2x+x^2}}{x^2-3x+2}=\frac{1}{2}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 2

ונקבל:

\frac{\sqrt{3+2+2^2}-\sqrt{9-2\cdot 2+2^2}}{2^2-3\cdot 2+2}=\frac{0}{0}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב של “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס” ו-x שואף למספר סופי – אם יש פולינום, נפרק אותו לגורמים, ואם יש ביטוי עם שורש, ננסה את שיטת הכפל בצמוד.

במכנה יש לנו פולינום, לכן נפרק אותו לגורמים בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{3+x+x^2}-\sqrt{9-2x+x^2}}{x^2-3x+2}=

=\lim _ { x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{3+x+x^2}-\sqrt{9-2x+x^2}}{(x-1)(x-2)}=

במונה יש לנו ביטוי מהצורה a-b, כאשר שניהם שורשים, לכן נשתמש בשיטת הכפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה בצמוד של הביטוי במונה. נקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 2} \frac{(\sqrt{3+x+x^2}-\sqrt{9-2x+x^2})(\sqrt{3+x+x^2}+\sqrt{9-2x+x^2})}{(x-1)(x-2)(\sqrt{3+x+x^2}+\sqrt{9-2x+x^2})}=

מנוסחת הכפל המקוצר (מעלה שנייה, נוסחה שלישית), מקבלים במונה:

=\lim _ { x \rightarrow 2} \frac{3+x+x^2-(9-2x+x^2)}{(x-1)(x-2)(\sqrt{3+x+x^2}+\sqrt{9-2x+x^2})}=

=\lim _ { x \rightarrow 2} \frac{3+x+x^2-9+2x-x^2}{(x-1)(x-2)(\sqrt{3+x+x^2}+\sqrt{9-2x+x^2})}=

=\lim _ { x \rightarrow 2} \frac{3x-6}{(x-1)(x-2)(\sqrt{3+x+x^2}+\sqrt{9-2x+x^2})}=

=\lim _ { x \rightarrow 2} \frac{3(x-2)}{(x-1)(x-2)(\sqrt{3+x+x^2}+\sqrt{9-2x+x^2})}=

נצמצם את הביטוי שגרם למקרה האי-ודאות ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 2} \frac{3}{(x-1)(\sqrt{3+x+x^2}+\sqrt{9-2x+x^2})}=

נציב שוב:

x =2

הפעם נקבל:

=\frac{3}{(2-1)(\sqrt{3+2+2^2}+\sqrt{9-2\cdot 2+2^2})}=

=\frac{3}{\sqrt{9}+\sqrt{9}}=

=\frac{3}{3+3}=

=\frac{3}{6}=

=\frac{1}{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה