fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- מנה של פונקציות עם שורש – תרגיל 5925

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x+x^2}-1}{x}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x+x^2}-1}{x}=\frac{1}{2}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 0

ונקבל:

\frac{\sqrt{1+0+0^2}-1}{0}=\frac{0}{0}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב של “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס” ו-x שואף למספר סופי – אם יש פולינום, נפרק אותו לגורמים, ואם יש ביטוי עם שורש, ננסה את שיטת הכפל בצמוד.

במונה יש לנו ביטוי מהצורה a-b, כאשר אחד מהם הוא שורש, לכן נשתמש בשיטת הכפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה בצמוד של הביטוי במונה. נקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x+x^2}-1}{x}=

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+x+x^2}-1)(\sqrt{1+x+x^2}+1)}{x(\sqrt{1+x+x^2}+1)}=

מנוסחת הכפל המקוצר, מקבלים במונה:

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{1+x+x^2-1}{x(\sqrt{1+x+x^2}+1)}=

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{x+x^2}{x(\sqrt{1+x+x^2}+1)}=

נפרק לגורמים את הפולינום במונה ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{x(1+x)}{x(\sqrt{1+x+x^2}+1)}=

נצמצם את הביטוי שגרם למקרה האי-ודאות ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{1+x}{\sqrt{1+x+x^2}+1}=

נציב שוב:

x = 0

הפעם נקבל:

=\frac{1+0}{\sqrt{1+0+0^2}+1}=

=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=

=\frac{1}{1+1}=

=\frac{1}{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה