תרגיל
חשבו את הגבול:
\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x+x^2}-1}{x}
תשובה סופית
פתרון מפורט
דבר ראשון, נציב בפונקציה:
x = 0
ונקבל:
\frac{\sqrt{1+0+0^2}-1}{0}=\frac{0}{0}
קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.
טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב של “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס” ו-x שואף למספר סופי – אם יש פולינום, נפרק אותו לגורמים, ואם יש ביטוי עם שורש, ננסה את שיטת הכפל בצמוד.
במונה יש לנו ביטוי מהצורה a-b, כאשר אחד מהם הוא שורש, לכן נשתמש בשיטת הכפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה בצמוד של הביטוי במונה. נקבל:
\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x+x^2}-1}{x}=
=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+x+x^2}-1)(\sqrt{1+x+x^2}+1)}{x(\sqrt{1+x+x^2}+1)}=
מנוסחת הכפל המקוצר, מקבלים במונה:
=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{1+x+x^2-1}{x(\sqrt{1+x+x^2}+1)}=
=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{x+x^2}{x(\sqrt{1+x+x^2}+1)}=
נפרק לגורמים את הפולינום במונה ונקבל:
=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{x(1+x)}{x(\sqrt{1+x+x^2}+1)}=
נצמצם את הביטוי שגרם למקרה האי-ודאות ונקבל:
=\lim _ { x \rightarrow 0} \frac{1+x}{\sqrt{1+x+x^2}+1}=
נציב שוב:
x = 0
הפעם נקבל:
=\frac{1+0}{\sqrt{1+0+0^2}+1}=
=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=
=\frac{1}{1+1}=
=\frac{1}{2}
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
