תרגיל
חשבו את הגבול:
\lim _ { x \rightarrow 4} \frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}
תשובה סופית
פתרון מפורט
דבר ראשון, נציב x=4 ונקבל:
\frac{3-\sqrt{5+4}}{1-\sqrt{5-4}}=\frac{0}{0}
קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.
טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב של “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס” ו-x שואף למספר סופי – אם יש ביטוי מהצורה a-b ולפחות אחד מהם הוא שורש, ננסה את שיטת הכפל בצמוד.
במונה ובמכנה יש לנו ביטויים מהצורה a-b, כאשר אחד מהם הוא שורש, לכן נשתמש בשיטת הכפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה בשני איברים: הצמוד של הביטוי במונה והצמוד של הביטוי במכנה. נקבל:
\lim _ { x \rightarrow 4} \frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}=
=\lim _ { x \rightarrow 4} \frac{(3-\sqrt{5+x})(3+\sqrt{5+x})(1+\sqrt{5-x})}{(1-\sqrt{5-x})(3+\sqrt{5+x})(1+\sqrt{5-x})}=
מנוסחת הכפל המקוצר, נקבל:
=\lim _ { x \rightarrow 4} \frac{(9-(5+x))(1+\sqrt{5-x})}{((1-(5-x))(3+\sqrt{5+x})}=
=\lim _ { x \rightarrow 4} \frac{(9-5-x)(1+\sqrt{5-x})}{(1-5+x)(3+\sqrt{5+x})}=
=\lim _ { x \rightarrow 4} \frac{(4-x)(1+\sqrt{5-x})}{(-4+x)(3+\sqrt{5+x})}=
=\lim _ { x \rightarrow 4} \frac{(4-x)(1+\sqrt{5-x})}{-(4-x)(3+\sqrt{5+x})}=
נצמצם את הביטוי שגרם למקרה האי-ודאות ונקבל:
=\lim _ { x \rightarrow 4} \frac{1+\sqrt{5-x}}{-(3+\sqrt{5+x})}=
נציב שוב x=4 ונקבל:
=\frac{1+\sqrt{5-4}}{-(3+\sqrt{5+4})}=
=\frac{1+\sqrt{1}}{-(3+3)}=
=\frac{1+1}{-6}=
=\frac{2}{-6}=
=-\frac{1}{3}
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
