fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- מנה של פונקציות עם שורשים – תרגיל 5929

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 4} \frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 4} \frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}=-\frac{1}{3}

פתרון

דבר ראשון, נציב x=4 ונקבל:

\frac{3-\sqrt{5+4}}{1-\sqrt{5-4}}=\frac{0}{0}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב של “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס” ו-x שואף למספר סופי – אם יש ביטוי מהצורה a-b ולפחות אחד מהם הוא שורש, ננסה את שיטת הכפל בצמוד.

במונה ובמכנה יש לנו ביטויים מהצורה a-b, כאשר אחד מהם הוא שורש, לכן נשתמש בשיטת הכפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה בשני איברים: הצמוד של הביטוי במונה והצמוד של הביטוי במכנה. נקבל:

\lim _ { x \rightarrow 4} \frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}=

=\lim _ { x \rightarrow 4} \frac{(3-\sqrt{5+x})(3+\sqrt{5+x})(1+\sqrt{5-x})}{(1-\sqrt{5-x})(3+\sqrt{5+x})(1+\sqrt{5-x})}=

מנוסחת הכפל המקוצר, נקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 4} \frac{(9-(5+x))(1+\sqrt{5-x})}{((1-(5-x))(3+\sqrt{5+x})}=

=\lim _ { x \rightarrow 4} \frac{(9-5-x)(1+\sqrt{5-x})}{(1-5+x)(3+\sqrt{5+x})}=

=\lim _ { x \rightarrow 4} \frac{(4-x)(1+\sqrt{5-x})}{(-4+x)(3+\sqrt{5+x})}=

=\lim _ { x \rightarrow 4} \frac{(4-x)(1+\sqrt{5-x})}{-(4-x)(3+\sqrt{5+x})}=

נצמצם את הביטוי שגרם למקרה האי-ודאות ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 4} \frac{1+\sqrt{5-x}}{-(3+\sqrt{5+x})}=

נציב שוב x=4 ונקבל:

=\frac{1+\sqrt{5-4}}{-(3+\sqrt{5+4})}=

=\frac{1+\sqrt{1}}{-(3+3)}=

=\frac{1+1}{-6}=

=\frac{2}{-6}=

=-\frac{1}{3}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה