fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- מנה של פונקציות עם שורש שלישי – תרגיל 5933

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 8} \frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 8} \frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}=12

פתרון

דבר ראשון, נציב x=8 ונקבל:

\frac{8-8}{\sqrt[3]{8}-2}=\frac{0}{0}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב של “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס” ו-x שואף למספר סופי – אם יש ביטוי עם שורש שלישי, ננסה את שיטת הכפל בצמוד. שימו לב שהצמוד של שורש שלישי שונה מהצמוד הרגיל.

במכנה יש לנו ביטוי מהצורה a-b, כאשר a הוא שורש שלישי, לכן נשתמש בשיטת הכפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה בצמוד של הביטוי במכנה. נקבל:

\lim _ { x \rightarrow 8} \frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}=

=\lim _ { x \rightarrow 8} \frac{(x-8)(x^{\frac{2}{3}}+2x^{\frac{1}{3}}+4)}{(\sqrt[3]{x}-2)(x^{\frac{2}{3}}+2x^{\frac{1}{3}}+4)}=

מנוסחת הכפל המקוצר (מעלה שלישית, נוסחה שלישית), נקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 8} \frac{(x-8)(x^{\frac{2}{3}}+2x^{\frac{1}{3}}+4)}{x-8}=

נצמצם את הביטוי שגרם למקרה האי-ודאות ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 8} x^{\frac{2}{3}}+2x^{\frac{1}{3}}+4=

נציב שוב x=4 ונקבל:

=8^{\frac{2}{3}}+2\cdot 8^{\frac{1}{3}}+4=

=4+4+4=

=12

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה