fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- מנה של פונקציות עם שורש רגיל ושורש שלישי – תרגיל 5936

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}=\frac{3}{2}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה x=1 ונקבל:

\frac{\sqrt{1}-1}{\sqrt[3]{1}-1}=\frac{0}{0}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב של “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס” ו-x שואף למספר סופי – אם יש ביטוי מהצורה a-b ולפחות אחד מהם הוא שורש, ננסה את שיטת הכפל בצמוד. שימו לב שהצמוד של שורש רגיל שונה מהצמוד של שורש שלישי.

במונה יש לנו ביטוי מהצורה a-b, כאשר a הוא שורש רגיל, לכן נשתמש בשיטת הכפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה בצמוד של הביטוי במונה. נקבל:

\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}=

=\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=

גם במכנה יש לנו ביטוי מהצורה a-b, אבל הפעם a הוא שורש שלישי, לכן נשתמש שוב בשיטת הכפל בצמוד, אך נשים לב לכפול בצמוד המתאים. נכפול את המונה ואת המכנה בצמוד ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}+1)}{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}+1)}=

נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר (מעלה שנייה, נוסחה שלישית), ונקבל במונה:

=\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}+1)}{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}+1)}=

נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר (מעלה שלישית, נוסחה שלישית), ונקבל במכנה:

=\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}+1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}=

נצמצם את הביטוי שגרם למקרה האי-ודאות ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 1} \frac{x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}+1}{\sqrt{x}+1}=

נציב שוב x=1 ונקבל:

=\frac{1^{\frac{2}{3}}+1^{\frac{1}{3}}+1}{\sqrt{1}+1}=

=\frac{1+1+1}{1+1}=

=\frac{3}{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה