fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

חישוב גבול של פונקציה – פונקציה בחזקת פולינום בשאיפה לאינסוף – תרגיל 6010

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1-\frac{1}{x^2-4})}^{3x^2}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1-\frac{1}{x^2-4})}^{3x^2}=e^{-3}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x =\infty

ונקבל:

{(1-\frac{1}{\infty^2-4})}^{3\infty^2}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאחד בחזקת אינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

נסדר את הפונקציה בתרגיל שלנו כדי להשתמש בגבול אוילר (השני):

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1-\frac{1}{x^2-4})}^{3x^2}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{4-x^2})}^{3x^2}=

קיבלנו בבסיס ביטוי מהסוג:

1+\frac{1}{4-x^2}

ומתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{4-x^2}= 0

כנדרש.

נוסיף לחזקה את האיבר ההופכי לאיבר שבבסיס ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{4-x^2})}^{(4-x^2)\cdot\frac{1}{4-x^2}\cdot 3x^2}=

הערה: כאשר מוסיפים איבר בכפל, צריך לכפול גם באיבר ההופכי שלו, כדי שהביטוי המקורי לא ישתנה.

כעת, לפי גבול אוילר, נקבל:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{4-x^2})}^{(4-x^2)}=e

נשאר לנו לחשב את הגבול על הביטוי שנשאר בחזקה:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{4-x^2}\cdot 3x^2=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{3x^2}{4-x^2}=

קיבלנו מנה של פולינומים בשאיפה לאפס. במצב כזה, נחלק את המונה ואת המכנה בחזקה הגבוהה ביותר, ללא המקדם. בתרגיל שלנו, נחלק באיבר:

x^2

ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2}}{\frac{4-x^2}{x^2}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{3}{\frac{4}{x^2}-1}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{3}{\frac{4}{\infty^2}-1}=

=\frac{3}{0-1}=

=\frac{3}{-1}=

=-3

לכן, סה”כ מקבלים:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{4-x^2})}^{(4-x^2)\cdot\frac{1}{4-x^2}\cdot 3x^2}=

=e^{-3}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?