fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פולינומים בחזקת פולינום בשאיפה לאינסוף – תרגיל 6012

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{x-3}{x-2})}^{2x+4}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{x-3}{x-2})}^{2x+4}=e^{-2}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x =\infty

ונקבל:

{(\frac{\infty-3}{\infty-2})}^{2\infty+4}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאינסוף חלקֵי שואף לאינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

נסדר את הפונקציה בתרגיל שלנו כדי להשתמש בגבול אוילר (השני):

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{x-3}{x-2})}^{2x+4}=

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(\frac{x-2-1}{x-2})}^{2x+4}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{-1}{x-2})}^{2x+4}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{2-x})}^{2x+4}=

קיבלנו בבסיס ביטוי מהסוג:

1+\frac{1}{2-x}

ומתקיים:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1}{2-x}= 0

כנדרש.

נוסיף לחזקה את האיבר ההופכי לאיבר שבבסיס ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{2-x})}^{(2-x)\cdot\frac{1}{2-x}\cdot (2x+4)}=

הערה: כאשר מוסיפים איבר בכפל, צריך לכפול גם באיבר ההופכי שלו, כדי שהביטוי המקורי לא ישתנה.

כעת, לפי גבול אוילר, נקבל:

\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{2-x})}^{2-x}=e

נשאר לנו לחשב את הגבול על הביטוי שנשאר בחזקה:

\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{1}{2-x}\cdot (2x+4)=

=\lim _ { x \rightarrow \infty}\frac{2x+4}{2-x}=

קיבלנו מנה של פולינומים בשאיפה לאפס. במצב כזה, נחלק את המונה ואת המכנה בחזקה הגבוהה ביותר, ללא המקדם. בתרגיל שלנו, נחלק באיבר:

x

ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{2x+4}{x}}{\frac{2-x}{x}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2+\frac{4}{x}}{\frac{2}{x}-1}=

נציב אינסוף ונקבל:

= \frac{2+\frac{4}{\infty}}{\frac{2}{\infty}-1}=

= \frac{2+0}{0-1}=

=\frac{2}{-1}=

=-2

לכן, סה”כ מקבלים:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} {(1+\frac{1}{2-x})}^{(2-x)\cdot\frac{1}{2-x}\cdot (2x+4)}=

=e^{-2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה