fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות שיעזרו לך להצליח!

הרשמו לצפייה בדפי תרגילים פתורים

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פונקציות עם שורש במונה בשאיפה לאינסוף – תרגיל 6202

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=1

פתרון מפורט

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = \infty

ונקבל:

\frac{\sqrt{\infty^2+1}}{\infty}

קיבלנו את המצב “אינסוף חלקֵי אינסוף”. זה מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.

נכניס את המכנה אל תוך השורש. מכיוון ש-x שואף לאינסוף, הוא חיובי ומתקיים:

x=\sqrt{x^2}

נציב זאת ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=

נציב שוב אינסוף ונקבל:

=\sqrt{1+\frac{1}{\infty^2}}=

=\sqrt{1+\frac{1}{\infty}}=

=\sqrt{1+0}=

=1

הערה: אינסוף בחזקת כל מספר חיובי שווה לאינסוף. כמו כן, מספר סופי חלקֵי אינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה לחצו כאן.

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה גישה לדפי תרגילים פתורים בחדו"א?