הרשמו לצפייה בדפי תרגילים פתורים

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פונקציות עם שורשים בשאיפה לאינסוף – תרגיל 6207

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[5]{x^4}+2}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[5]{x^4}+2}=0

פתרון מפורט

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = \infty

ונקבל:

\frac{\sqrt[3]{\infty^2}}{\sqrt[5]{\infty^4}+2}

קיבלנו את המצב “אינסוף חלקֵי אינסוף”. זה מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.

נחלק מונה ומכנה בגורם המוביל (=החזקה הגבוהה ביותר של x), כלומר נחלק מונה ומכנה באיבר:

x^{\frac{4}{5}}

ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[5]{x^4}+2}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{4}{5}}+2}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{4}{5}}}}{\frac{x^{\frac{4}{5}}+2}{x^{\frac{4}{5}}}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{15}}}}{1+\frac{2}{x^{\frac{4}{5}}}}=

נציב שוב אינסוף ונקבל:

=\frac{\frac{1}{\infty^{\frac{2}{15}}}}{1+\frac{2}{\infty^{\frac{4}{5}}}}=

=\frac{\frac{1}{\infty}}{1+\frac{2}{\infty}}=

=\frac{0}{1+0}=

=\frac{0}{1}=

=0

הערה: אינסוף בחזקת כל מספר חיובי שווה לאינסוף. כמו כן, מספר סופי חלקֵי אינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה לחצו כאן.

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה