תרגיל
חשבו את הגבול:
\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}
תשובה סופית
פתרון מפורט
דבר ראשון, נציב:
x=\infty
ונקבל:
\sqrt{\infty^2+1}-\sqrt{\infty^2-1}=\infty-\infty
קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאינסוף פחות שואף לאינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.
טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב של “שואף לאינסוף פחות שואף לאינסוף” – אם יש ביטוי מהצורה a-b ולפחות אחד מהם הוא שורש, ננסה את שיטת הכפל בצמוד.
אם כן, נשתמש בשיטת הכפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה (שווה ל-1) בצמוד של הביטוי במונה. נקבל:
\lim _ { x \rightarrow \infty} \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1})(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1})}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}=
מנוסחת הכפל המקוצר, נקבל:
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1-(x^2-1)}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1-x^2+1}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}=
=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{2}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}=
נציב שוב אינסוף ונקבל:
=\frac{2}{\sqrt{\infty^2+1}+\sqrt{\infty^2-1}}=
=\frac{2}{\sqrt{\infty+1}+\sqrt{\infty-1}}=
=\frac{2}{\infty+\infty}=
=\frac{2}{\infty}=
=0
הערה: אינסוף בחזקת כל מספר חיובי שווה לאינסוף. כמו כן, מספר סופי חלקֵי אינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה לחצו כאן.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
