fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- מנה של פונקציות עם שורשים בשאיפה לאינסוף – תרגיל 6217

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^3+x^2}-\sqrt{x^3-1}}{\sqrt{x}}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^3+x^2}-\sqrt{x^3-1}}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}

פתרון

דבר ראשון, נציב:

x=\infty

ונקבל:

\frac{\sqrt{\infty^3+\infty^2}-\sqrt{\infty^3-1}}{\sqrt{\infty}}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאינסוף פחות שואף לאינסוף” במונה. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב של “שואף לאינסוף פחות שואף לאינסוף” – אם יש ביטוי מהצורה a-b ולפחות אחד מהם הוא שורש, ננסה את שיטת הכפל בצמוד.

אם כן, נשתמש בשיטת הכפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה בצמוד של הביטוי במונה. נקבל:

\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^3+x^2}-\sqrt{x^3-1}}{\sqrt{x}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{x^3+x^2}-\sqrt{x^3-1})(\sqrt{x^3+x^2}+\sqrt{x^3-1})}{\sqrt{x}(\sqrt{x^3+x^2}-\sqrt{x^3-1})}=

מנוסחת הכפל המקוצר, נקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{x^3+x^2-(x^3-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x^3+x^2}-\sqrt{x^3-1})}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{x^3+x^2-x^3+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x^3+x^2}-\sqrt{x^3-1})}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x^3+x^2}-\sqrt{x^3-1})}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{x^2+1}{\sqrt{x^4+x^3}-\sqrt{x^4-x}}=

נציב שוב אינסוף ונקבל:

=\frac{\infty^2+1}{\sqrt{\infty^4+\infty^3}-\sqrt{\infty^4-\infty}}=

קיבלנו שוב “שואף לאינסוף פחות שואף לאינסוף” במכנה. כאמור, זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. נחלק מונה ומכנה בגורם המוביל (=האיבר ששואף הכי מהר לאינסוף). במקרה שלנו, נחלק בביטוי:

x^2

ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x^2+1}{x^2}}{\frac{\sqrt{x^4+x^3}-\sqrt{x^4-x}}{x^2}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{1}{x^2}}{\frac{\sqrt{x^4+x^3}-\sqrt{x^4-x}}{\sqrt{x^4}}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{1}{x^2}}{\sqrt{\frac{x^4+x^3}{x^4}}+\sqrt{\frac{x^4-x}{x^4}}}=

=\lim _ { x \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{1}{x^2}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^3}}}=

נציב שוב אינסוף ונקבל:

=\frac{1+\frac{1}{\infty^2}}{\sqrt{1+\frac{1}{\infty}}+\sqrt{1-\frac{1}{\infty^3}}}=

=\frac{1+\frac{1}{\infty}}{\sqrt{1+\frac{1}{\infty}}+\sqrt{1-\frac{1}{\infty}}}=

=\frac{1+0}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}=

=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=

=\frac{1}{1+1}=

=\frac{1}{2}

הערה: אינסוף בחזקת כל מספר חיובי שווה לאינסוף. כמו כן, מספר סופי חלקֵי אינסוף מוגדר ושווה לאפס. לרשימה המלאה לחצו כאן.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה