fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות של פונקציה – בדיקת רציפות עם פרמטר – תרגיל 6250

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x^2+11}-6}{x^2-25}, &\quad 5\neq x>0\\ c, &\quad x=5 \\ \end{cases}

c פרמטר. עבור איזה ערך של c הפונקציה רציפה בנקודה x=5?

תשובה סופית


c=\frac{1}{12}

פתרון

הפונקציה אלמנטרית, ולכן רציפה. נשאר לבדוק רציפות רק בנקודה:

x=5

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 5^{+}} f(x)

כאשר x שואף ל-5 מימין, x קרוב ל-5, אך גדול ממנו (למשל, 5.00000001) ושם מתקיים:

f(x) =\frac{\sqrt{x^2+11}-6}{x^2-25}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 5^{+}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 5^{+}}\frac{\sqrt{x^2+11}-6}{x^2-25}=

=\frac{\sqrt{5^2+11}-6}{5^2-25}=\frac{0}{0}

קיבלנו את המצב “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זה מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.

טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב זה- אם יש ביטוי מהצורה a-b ולפחות אחד מהם הוא שורש, ננסה את שיטת הכפל בצמוד.

אם כן, נשתמש בשיטת הכפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה בצמוד של הביטוי במונה. נקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 5^{+}}\frac{(\sqrt{x^2+11}-6)(\sqrt{x^2+11}+6)}{(x^2-25)(\sqrt{x^2+11}+6)}=

מנוסחת הכפל המקוצר, נקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 5^{+}}\frac{x^2+11-36}{(x^2-25)(\sqrt{x^2+11}+6)}=

=\lim _ { x \rightarrow 5^{+}}\frac{x^2-25}{(x^2-25)(\sqrt{x^2+11}+6)}=

נצמצם ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 5^{+}}\frac{1}{\sqrt{x^2+11}+6}=

נציב שוב ונקבל:

=\frac{1}{\sqrt{5^2+11}+6}=

=\frac{1}{\sqrt{25+11}+6}=

=\frac{1}{\sqrt{36}+6}=

=\frac{1}{6+6}=

=\frac{1}{12}

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 5^{-}} f(x)

כאשר x שואף ל-5 משמאל, x קרוב ל-5, אך קטן ממנו (למשל, 4.99999) ושם מתקיים:

f(x) = \frac{\sqrt{x^2+11}-6}{x^2-25}

קיבלנו את אותה הפונקציה, ובחישוב הגבול נקבל את אותה התוצאה:

\lim _ { x \rightarrow 5^{-}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 5^{-}}\frac{\sqrt{x^2+11}-6}{x^2-25}=

=\frac{1}{12}

כמו כן, ערך הפונקציה בנקודה הוא

f(5)=c

מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה רציפה כאשר מתקיים:

c=\frac{1}{12}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה