fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות של פונקציה – פונקציה עם פרמטר – תרגיל 6591

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} {(a+x)}^{\frac{1}{x}}+1, &\quad x>0\\ 1, &\quad x = 0\\ \frac{a^x+a^{-x}-2}{x^2}, &\quad x<0\\ \end{cases}

a>0 פרמטר. עבור אלו ערכים של הפרמטר הפונקציה רציפה?

תשובה סופית


a=\frac{1}{e}

פתרון

הפונקציות בשלושת הענפים מורכבות מפונקציות אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:

x=0

נחשב את הגבול משמאל לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)

כאשר x שואף לאפס משמאל, x קרוב לאפס, אך קטן ממנו (למשל, 0.00000001-) ושם מתקיים:

f(x) =\frac{a^x+a^{-x}-2}{x^2}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} \frac{a^x+a^{-x}-2}{x^2}=

הצבת x=0 נותנת “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נשתמש בכלל לופיטל – נגזור מונה ומכנה בנפרד ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} \frac{a^x\cdot\ln a-a^{-x}\cdot\ln a}{2x}=

הצבת x=0 נותנת שוב “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. לכן נשתמש שוב בכלל לופיטל – נגזור מונה ומכנה בנפרד ונקבל:

=\ln a\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} \frac{a^x\cdot\ln a+a^{-x}\cdot\ln a}{2}=

=\frac{\ln^2 a}{2}\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} a^x+a^{-x}=

נציב שוב x=0 ונקבל:

=\frac{\ln^2 a}{2}\cdot (a^0+a^{-0})=

=\frac{\ln^2 a}{2}\cdot 2=

=\ln^2 a

כדי שהפונקציה תהיה רציפה בנקודה, נדרוש שהגבול יהיה שווה לערך הפונקציה בנקודה:

\ln^2 a=f(0)

\ln^2 a=1

\ln a=\pm 1

קיבלנו שתי אפשרויות. האחת,

\ln a= 1

a= e

השנייה,

\ln a= -1

a= e^{-1}=\frac{1}{e}

כעת נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)

כאשר x שואף לאפס מימין, x קרוב לאפס, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:

f(x) ={(a+x)}^{\frac{1}{x}}+1

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} {(a+x)}^{\frac{1}{x}}+1=

=1+\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} {(a+x)}^{\frac{1}{x}}=

שוב, כדי שהפונקציה תהיה רציפה בנקודה, נדרוש שהגבול יהיה שווה לערך הפונקציה בנקודה:

=1+\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} {(a+x)}^{\frac{1}{x}}=f(0)

ונקבל:

1+\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} {(a+x)}^{\frac{1}{x}}=1

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} {(a+x)}^{\frac{1}{x}}=0

הצבת אפס בגבול נותנת “שואף ל-a בחזקת אינסוף”:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} {(a+x)}^{\frac{1}{x}}=a^{\infty}

לכן, מקבלים שתי אפשרויות:

a^{\infty}=\begin{cases} 0, &\quad 0<a<1\\ \infty, &\quad a>1\\ \end{cases}

הערה: לרשימה המלאה של הביטויים המוגדרים לחצו כאן.

קיבלנו שהפונקציה רציפה בנקודה x=0 כאשר מתקיים:

0<a<1

וגם מתקיים:

a=\frac{1}{e} \text{  or  } a=e

מכאן, הפונקציה רציפה בנקודה x=0 רק כאשר מתקיים:

a=\frac{1}{e}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה