fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות של פונקציה – בדיקת רציפות – תרגיל 6230

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} \frac{e^x-e^{-x}}{2}, &\quad x> 0\\ 0, &\quad x= 0\\ \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}, &\quad x<0\\ \end{cases}

האם היא רציפה?

תשובה סופית


כן

פתרון

הפונקציות בשני הענפים אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:

x=0

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)

כאשר x שואף ל-0 מימין, x קרוב ל-0, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:

f(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^x-e^{-x}}{2}=

=\frac{e^0-e^{-0}}{2}=

=\frac{1-1}{2}=

=\frac{0}{2}=

=0

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)

כאשר x שואף ל-0 משמאל, x קרוב ל-0, אך קטן ממנו (למשל, 0.000001-) ושם מתקיים:

f(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=

= \frac{e^0-e^{-0}}{e^0+e^{-0}}=

= \frac{1-1}{1+1}=

= \frac{0}{2}=

=0

קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים סופיים ושווים, ושווים לערך הפונקציה בנקודה:

f(0)=0

מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה רציפה בנקודה x=0.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה