תרגיל
נתונה הפונקציה:
f(x) = \begin{cases} \frac{e^x-e^{-x}}{2}, &\quad x> 0\\ 0, &\quad x= 0\\ \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}, &\quad x<0\\ \end{cases}
האם היא רציפה?
תשובה סופית
פתרון מפורט
הפונקציות בשני הענפים אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:
x=0
נחשב את הגבול מימין לנקודה:
\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)
כאשר x שואף ל-0 מימין, x קרוב ל-0, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:
f(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2}
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)=
=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^x-e^{-x}}{2}=
=\frac{e^0-e^{-0}}{2}=
=\frac{1-1}{2}=
=\frac{0}{2}=
=0
כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:
\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)
כאשר x שואף ל-0 משמאל, x קרוב ל-0, אך קטן ממנו (למשל, 0.000001-) ושם מתקיים:
f(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)=
=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=
= \frac{e^0-e^{-0}}{e^0+e^{-0}}=
= \frac{1-1}{1+1}=
= \frac{0}{2}=
=0
קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים סופיים ושווים, ושווים לערך הפונקציה בנקודה:
f(0)=0
מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה רציפה בנקודה x=0.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
