fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות של פונקציה – בדיקת רציפות עם פרמטר – תרגיל 6248

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} c+\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}, &\quad x<0\\ \ln(2-x), &\quad x\geq 0\\ \end{cases}

c פרמטר. עבור איזה ערך של c הפונקציה רציפה בנקודה x=0?

תשובה סופית


c=\ln 2

פתרון

הפונקציות בשני הענפים אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:

x=0

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)

כאשר x שואף ל-0 מימין, x קרוב ל-0, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:

f(x) =\ln(2-x)

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}}\ln(2-x)=

=\ln(2-0)=

=\ln 2

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)

כאשר x שואף ל-0 משמאל, x קרוב ל-0, אך קטן ממנו (למשל, 0.00001-) ושם מתקיים:

f(x) = c+\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}}c+\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=

=c+\frac{e^0-e^{-0}}{e^0+e^{-0}}=

=c+\frac{1-1}{1+1}=

=c+\frac{0}{2}=c

כמו כן, ערך הפונקציה בנקודה הוא

f(0)=\ln (2+0)=\ln 2

מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה רציפה כאשר מתקיים:

c=\ln 2

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה