תרגיל
נתונה הפונקציה:
f(x) = \begin{cases} c+\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}, &\quad x<0\\ \ln(2-x), &\quad x\geq 0\\ \end{cases}
c פרמטר. עבור איזה ערך של c הפונקציה רציפה בנקודה x=0?
תשובה סופית
פתרון מפורט
הפונקציות בשני הענפים אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:
x=0
נחשב את הגבול מימין לנקודה:
\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)
כאשר x שואף ל-0 מימין, x קרוב ל-0, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:
f(x) =\ln(2-x)
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)=
=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}}\ln(2-x)=
=\ln(2-0)=
=\ln 2
כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:
\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)
כאשר x שואף ל-0 משמאל, x קרוב ל-0, אך קטן ממנו (למשל, 0.00001-) ושם מתקיים:
f(x) = c+\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)=
=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}}c+\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=
=c+\frac{e^0-e^{-0}}{e^0+e^{-0}}=
=c+\frac{1-1}{1+1}=
=c+\frac{0}{2}=c
כמו כן, ערך הפונקציה בנקודה הוא
f(0)=\ln (2+0)=\ln 2
מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה רציפה כאשר מתקיים:
c=\ln 2
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
