fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

רציפות של פונקציה – בדיקת רציפות עם פרמטר – תרגיל 6257

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases}\frac{e^x-1}{x}, &\quad x\neq 0\\ c, &\quad x= 0\\ \end{cases}

c פרמטר. עבור איזה ערך של c הפונקציה רציפה בנקודה x=0?

תשובה סופית


c=1

פתרון

הפונקציות אלמנטרית, ולכן רציפה. נשאר לבדוק רציפות רק בנקודה:

x=0

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)

כאשר x שואף ל-0 מימין, x קרוב ל-0, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:

f(x) =\frac{e^x-1}{x}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}}\frac{e^x-1}{x}=

קיבלנו את הגבול הידוע, ולכן התשובה היא

=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}}\frac{e^x-1}{x}=1

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)

כאשר x שואף ל-0 משמאל, x קרוב ל-0, אך קטן ממנו (למשל, 0.00001-) ושם מתקיים:

f(x) =\frac{e^x-1}{x}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}}\frac{e^x-1}{x}=

קיבלנו את אותו גבול ידוע, ולכן התשובה זהה:

=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}}\frac{e^x-1}{x}=1

כמו כן, ערך הפונקציה בנקודה הוא

f(0)=c

מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה רציפה כאשר מתקיים:

c=1

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?