תרגיל
נתונה הפונקציה:
f(x) = \begin{cases}\frac{e^x-1}{x}, &\quad x\neq 0\\ c, &\quad x= 0\\ \end{cases}
c פרמטר. עבור איזה ערך של c הפונקציה רציפה בנקודה x=0?
תשובה סופית
פתרון מפורט
הפונקציות אלמנטרית, ולכן רציפה. נשאר לבדוק רציפות רק בנקודה:
x=0
נחשב את הגבול מימין לנקודה:
\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)
כאשר x שואף ל-0 מימין, x קרוב ל-0, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:
f(x) =\frac{e^x-1}{x}
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)=
=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}}\frac{e^x-1}{x}=
קיבלנו את הגבול הידוע, ולכן התשובה היא
=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}}\frac{e^x-1}{x}=1
כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:
\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)
כאשר x שואף ל-0 משמאל, x קרוב ל-0, אך קטן ממנו (למשל, 0.00001-) ושם מתקיים:
f(x) =\frac{e^x-1}{x}
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)=
=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}}\frac{e^x-1}{x}=
קיבלנו את אותו גבול ידוע, ולכן התשובה זהה:
=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}}\frac{e^x-1}{x}=1
כמו כן, ערך הפונקציה בנקודה הוא
f(0)=c
מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה רציפה כאשר מתקיים:
c=1
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
