fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

רציפות של פונקציה – בדיקת רציפות עם פרמטר – תרגיל 6252

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} \frac{3x^2+x-4}{x-1}, &\quad x\neq 1\\ c, &\quad x=1 \\ \end{cases}

c פרמטר. עבור איזה ערך של c הפונקציה רציפה בנקודה x=1?

תשובה סופית


c=7

פתרון

הפונקציה אלמנטרית, ולכן רציפה. נשאר לבדוק רציפות רק בנקודה:

x=1

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 1^{+}} f(x)

כאשר x שואף ל-1 מימין, x קרוב ל-1, אך גדול ממנו (למשל, 1.00000001) ושם מתקיים:

f(x) =\frac{3x^2+x-4}{x-1}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 1^{+}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 1^{+}}\frac{3x^2+x-4}{x-1}=

=\frac{3\cdot 1^2+1-4}{1-1}=\frac{0}{0}

קיבלנו את המצב “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זה מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה.

טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב זה- אם יש מנה של פולינומים, נפרק אותם לגורמים.

אם כן, נפרק את הפולינום במונה לגורמים בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 1^{+}}\frac{(3x+4)(x-1)}{x-1}=

נצמצם ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 1^{+}}3x+4=

נציב שוב ונקבל:

=3\cdot 1+4=

=7

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 1^{-}} f(x)

כאשר x שואף ל-1 משמאל, x קרוב ל-1, אך קטן ממנו (למשל, 0.99999) ושם מתקיים:

f(x) =\frac{3x^2+x-4}{x-1}

קיבלנו את אותה הפונקציה, ובחישוב הגבול נקבל את אותה התוצאה:

\lim _ { x \rightarrow 1^{-}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 1^{-}}\frac{3x^2+x-4}{x-1}=

=7

כמו כן, ערך הפונקציה בנקודה הוא

f(1)=c

מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה רציפה כאשר מתקיים:

c=7

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?