fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות של פונקציה – פונקציה עם פרמטרים – תרגיל 6594

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} {(\frac{1-x}{1+x})}^{\frac{c}{x}}, &\quad x>0\\ e^2, &\quad x = 0\\ {(a+bx)}^{\frac{1}{x}}, &\quad x<0\\ \end{cases}

a,b,c פרמטרים. עבור אלו ערכים של הפרמטרים הפונקציה רציפה?

תשובה סופית


a=1, b=2, c=-1

פתרון

הפונקציות בשלושת הענפים מורכבות מפונקציות אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:

x=0

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)

כאשר x שואף לאפס מימין, x קרוב לאפס, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:

f(x) ={(\frac{1-x}{1+x})}^{\frac{c}{x}}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} {(\frac{1-x}{1+x})}^{\frac{c}{x}}=

הצבת הנקודה x=0, נותנת “שואף לאחד בחזקת אינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות. לכן, נסדר את הביטוי בעזרת חוקי לוגריתמים:

=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} e^{\ln{(\frac{1-x}{1+x})}^{\frac{c}{x}}}=

=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} e^{\frac{c}{x}\ln\frac{1-x}{1+x}}=

= e^{\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} \frac{c}{x}\ln\frac{1-x}{1+x}}=

הערה: אפשר להכניס את הגבול, כי פונקציה מעריכית היא פונקציה רציפה.

נחשב את הגבול בחזקה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} \frac{c}{x}\ln\frac{1-x}{1+x}=

c\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln\frac{1-x}{1+x}}{x}=

הצבה נותנת ‘שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס’. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נשתמש בכלל לופיטל כדי לצאת ממצב זה – נגזור את המונה ואת המכנה:

c\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{1-x}{1+x}}\cdot\frac{-(1+x)-(1-x)}{{(1+x)}^2}}{1}=

c\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\frac{1-x}{1+x}}\cdot\frac{-2}{{(1+x)}^2}=

c\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} \frac{-2}{(1-x)(1+x)}=

נציב שוב ונקבל:

c\cdot\frac{-2}{(1-0)(1+0)}=

=-2c

נציב בגבול המקורי ונקבל:

= e^{\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} \frac{c}{x}\ln\frac{1-x}{1+x}}=

=e^{-2c}

כדי שהפונקציה תהיה רציפה בנקודה, נדרוש שהגבול יהיה שווה לערך הפונקציה בנקודה:

e^{-2c}=f(0)

e^{-2c}=e^2

ולכן מקבלים:

c=-1

נעבור לחישוב הגבול החד-צדדי משמאל. כאשר x שואף לאפס משמאל, x קרוב לאפס, אך קטן ממנו (למשל, 0.00000001-) ושם מתקיים:

f(x) ={(a+bx)}^{\frac{1}{x}}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}}{(a+bx)}^{\frac{1}{x}}=

בהצבה מקבלים “שואף ל-a בחזקת מינוס אינסוף”, לכן מתקיים:

=a^{-\infty}=\begin{cases} \infty, &\quad 0<a<1\\ 0, &\quad a>1\\ \end{cases}

שוב, כדי שהפונקציה תהיה רציפה בנקודה x=0, צריך שהגבול יהיה שווה לערך הפונקציה בנקודה, אבל קיבלנו:

\begin{cases} \infty, &\quad 0<a<1\\ 0, &\quad a>1\\ \end{cases}\neq f(0)= e^2

לכן, הפונקציה רציפה רק כאשר מתקיים:

a=1

נציב ונקבל את הגבול:

=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} {(1+bx)}^{\frac{1}{x}}=

הצבה נותנת “שואף לאחד בחזקת מינוס אינסוף”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נשתמש בגבול אוילר. יש לנו בבסיס ביטוי מהצורה:

1+bx

ומתקיים:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}}bx= 0

כנדרש.

נכפול את החזקה באיבר ההופכי ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} {(1+bx)}^{\frac{1}{bx}\cdot bx\cdot \frac{1}{x}}=

הערה: כאשר מוסיפים איבר בכפל, צריך לכפול גם באיבר ההופכי שלו, כדי שהביטוי המקורי לא ישתנה.

כעת, לפי גבול אוילר, מתקיים:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} {(1+bx)}^{\frac{1}{bx}}=e

נשאר לנו לחשב את הגבול על הביטוי שנשאר בחזקה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} bx\cdot \frac{1}{x}=

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} b=b

לכן, סה”כ מקבלים:

=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} {(1+bx)}^{\frac{1}{bx}\cdot bx\cdot \frac{1}{x}}=

=e^b

שוב, כדי שהפונקציה תהיה רציפה בנקודה x=0, נדרוש שהגבול יהיה שווה לערך הפונקציה בנקודה:

e^b=f(0)=e^2

לכן מקבלים:

b=2

לסיכום, הפונקציה רציפה בנקודה x=0 כאשר מתקיים:

a=1, b=2, c=-1

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה