תרגיל
נתונה הפונקציה:
f(x) = \begin{cases} \frac{e^x+e^{-x}}{2}, &\quad x>0\\ \frac{1}{1+x^2}, &\quad x < 0\\ \end{cases}
האם היא רציפה בנקודה x=0? אם לא, איזה סוג אי-רציפות מקבלים?
תשובה סופית
פתרון מפורט
הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה x=0, כלומר
f(0)
אינו מוגדר. לכן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה אינה רציפה בנקודה x=0.
כדי לדעת איזו נקודת אי-רציפות יש בנקודה, צריך לחשב את הגבולות החד-צדדיים.
נחשב את הגבול מימין לנקודה:
\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)
כאשר x שואף ל-0 מימין, x קרוב ל-0, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:
f(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)=
=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}}\frac{e^x+e^{-x}}{2}=
=\frac{e^0+e^{-0}}{2}=
=\frac{1+1}{2}=1
כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:
\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)
כאשר x שואף ל-0 משמאל, x קרוב ל-0, אך קטן ממנו (למשל, 0.00001-) ושם מתקיים:
f(x) = \frac{1}{1+x^2}
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)=
=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}}\frac{1}{1+x^2}=
=\frac{1}{1+0^2}=1
קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים סופיים ושווים.
מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה אינה רציפה בנקודה x=0, ובנקודה זו יש נקודת אי-רציפות סליקה.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
