fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות של פונקציה – בדיקת רציפות – תרגיל 6245

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} \frac{e^x+e^{-x}}{2}, &\quad x>0\\ \frac{1}{1+x^2}, &\quad x < 0\\ \end{cases}

האם היא רציפה בנקודה x=0? אם לא, איזה סוג אי-רציפות מקבלים?

תשובה סופית


לא, יש נקודת אי-רציפות סליקה

פתרון

הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה x=0, כלומר

f(0)

אינו מוגדר. לכן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה אינה רציפה בנקודה x=0.

כדי לדעת איזו נקודת אי-רציפות יש בנקודה, צריך לחשב את הגבולות החד-צדדיים.

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)

כאשר x שואף ל-0 מימין, x קרוב ל-0, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:

f(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}}\frac{e^x+e^{-x}}{2}=

=\frac{e^0+e^{-0}}{2}=

=\frac{1+1}{2}=1

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)

כאשר x שואף ל-0 משמאל, x קרוב ל-0, אך קטן ממנו (למשל, 0.00001-) ושם מתקיים:

f(x) = \frac{1}{1+x^2}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}}\frac{1}{1+x^2}=

=\frac{1}{1+0^2}=1

קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים סופיים ושווים.

מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה אינה רציפה בנקודה x=0, ובנקודה זו יש נקודת אי-רציפות סליקה.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה