תרגיל
נתונה הפונקציה:
f(x) = \begin{cases} x^2+2x+\frac{50}{9}, &\quad x>1\\ \frac{5}{9}x+8, &\quad x < 1\\ \end{cases}
האם היא רציפה בנקודה x=1? אם לא, איזה סוג אי-רציפות מקבלים?
תשובה סופית
פתרון מפורט
הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה x=1, כלומר
f(1)
אינו מוגדר. לכן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה אינה רציפה בנקודה x=1.
כדי לדעת איזו נקודת אי-רציפות יש בנקודה, צריך לחשב את הגבולות החד-צדדיים.
נחשב את הגבול מימין לנקודה:
\lim _ { x \rightarrow 1^{+}} f(x)
כאשר x שואף ל-1 מימין, x קרוב ל-1, אך גדול ממנו (למשל, 1.00000001) ושם מתקיים:
f(x) = x^2+2x+\frac{50}{9}
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 1^{+}} f(x)=
=\lim _ { x \rightarrow 1^{+}}x^2+2x+\frac{50}{9}=
=1^2+2\cdot 1+\frac{50}{9}=\frac{77}{9}
כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:
\lim _ { x \rightarrow 1^{-}} f(x)
כאשר x שואף ל-1 משמאל, x קרוב ל-1, אך קטן ממנו (למשל, 0.99999) ושם מתקיים:
f(x) = \frac{5}{9}x+8
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 1^{-}} f(x)=
=\lim _ { x \rightarrow 1^{-}}\frac{5}{9}x+8=
=\frac{5}{9}\cdot 1+8=\frac{77}{9}
קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים סופיים ושווים.
מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה אינה רציפה בנקודה x=1, ובנקודה זו יש נקודת אי-רציפות סליקה.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
