fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות של פונקציה – בדיקת רציפות – תרגיל 6243

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} x^2+2x+\frac{50}{9}, &\quad x>1\\ \frac{5}{9}x+8, &\quad x < 1\\ \end{cases}

האם היא רציפה בנקודה x=1? אם לא, איזה סוג אי-רציפות מקבלים?

תשובה סופית


לא, יש נקודת אי-רציפות סליקה

פתרון

הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה x=1, כלומר

f(1)

אינו מוגדר. לכן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה אינה רציפה בנקודה x=1.

כדי לדעת איזו נקודת אי-רציפות יש בנקודה, צריך לחשב את הגבולות החד-צדדיים.

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 1^{+}} f(x)

כאשר x שואף ל-1 מימין, x קרוב ל-1, אך גדול ממנו (למשל, 1.00000001) ושם מתקיים:

f(x) = x^2+2x+\frac{50}{9}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 1^{+}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 1^{+}}x^2+2x+\frac{50}{9}=

=1^2+2\cdot 1+\frac{50}{9}=\frac{77}{9}

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 1^{-}} f(x)

כאשר x שואף ל-1 משמאל, x קרוב ל-1, אך קטן ממנו (למשל, 0.99999) ושם מתקיים:

f(x) = \frac{5}{9}x+8

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 1^{-}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 1^{-}}\frac{5}{9}x+8=

=\frac{5}{9}\cdot 1+8=\frac{77}{9}

קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים סופיים ושווים.

מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה אינה רציפה בנקודה x=1, ובנקודה זו יש נקודת אי-רציפות סליקה.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה