fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רציפות של פונקציה – בדיקת רציפות – תרגיל 6240

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1+x)}{x}, &\quad x>0\\ \sqrt[3]{x}, &\quad x < 0\\ \end{cases}

האם היא רציפה בנקודה x=0? אם לא, איזה סוג אי-רציפות מקבלים?

תשובה סופית


לא, יש נקודת אי-רציפות קפיצה

פתרון

הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה x=0, כלומר

f(0)

אינו מוגדר. לכן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה אינה רציפה בנקודה x=0.

כדי לדעת איזו נקודת אי-רציפות יש בנקודה, צריך לחשב את הגבולות החד-צדדיים.

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)

כאשר x שואף לאפס מימין, x קרוב לאפס, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:

f(x) = \frac{\ln(1+x)}{x}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x}\ln(1+x)=

נשתמש בחוקי לוגריתמים ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}}\ln{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=

נכניס את הגבול פנימה ונקבל:

=\ln \lim _ { x \rightarrow 0^{+}}{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=

הערה: אפשר לעשות זאת כי ln היא פונקציה רציפה.

נשתמש  בגבול אוילר ונקבל:

=\ln e=1=

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)

כאשר x שואף לאפס משמאל, x קרוב לאפס, אך קטן ממנו (למשל, 0.00000001-) ושם מתקיים:

f(x) = \sqrt[3]{x}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}}\sqrt[3]{x}=

=\sqrt[3]{0}=0

קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים סופיים, אך שונים.

מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה אינה רציפה בנקודה x=0, ובנקודה זו יש נקודת אי-רציפות קפיצה.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה