תרגיל
נתונה הפונקציה:
f(x) = \begin{cases} {(1+x)}^{\frac{1}{x}}, &\quad x>0\\ e-x, &\quad x < 0\\ \end{cases}
האם היא רציפה בנקודה x=0? אם לא, איזה סוג אי-רציפות מקבלים?
תשובה סופית
פתרון מפורט
הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה x=0, כלומר
f(0)
אינו מוגדר. לכן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה אינה רציפה בנקודה x=0.
כדי לדעת איזו נקודת אי-רציפות יש בנקודה, צריך לחשב את הגבולות החד-צדדיים.
נחשב את הגבול מימין לנקודה:
\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)
כאשר x שואף לאפס מימין, x קרוב לאפס, אך גדול ממנו (למשל, 0.00000001) ושם מתקיים:
f(x) = {(1+x)}^{\frac{1}{x}}
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 0^{+}} f(x)=
=\lim _ { x \rightarrow 0^{+}}{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e
תוצאת הגבול מתקבלת מגבול אוילר.
כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:
\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)
כאשר x שואף לאפס משמאל, x קרוב לאפס, אך קטן ממנו (למשל, 0.00000001-) ושם מתקיים:
f(x) = e-x
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 0^{-}} f(x)=
=\lim _ { x \rightarrow 0^{-}}e-x=
=e-0=e
קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים שווים ל-e, כלומר הם סופיים ושווים אחד לשני.
מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה אינה רציפה בנקודה x=0, ובנקודה זו יש נקודת אי-רציפות סליקה.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
