fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

רציפות של פונקציה – בדיקת רציפות – תרגיל 6223

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} \frac{3x^2-5x-2}{3x^2-12}, &\quad 2 \neq x\geq 0\\ 1, &\quad x \neq 2\\ \end{cases}

האם היא רציפה?

תשובה סופית


לא

פתרון

הפונקציות בשני הענפים אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:

x=2

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} f(x)

כאשר x שואף ל-2 מימין, x קרוב ל-2, אך גדול ממנו (למשל, 2.00000001) ושם מתקיים:

f(x) = \frac{3x^2-5x-2}{3x^2-12}

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} \frac{3x^2-5x-2}{3x^2-12}=

=\frac{3\cdot 2^2-5\cdot 2-2}{3\cdot 2^2-12}=\frac{0}{0}

קיבלנו “שואף לאפס חלקי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות.

יש לנו מנה של פולינומים ריבועיים. לכן, נפרק אותם לגורמים בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} \frac{(3x+1)(x-2)}{(3x+6)(x-2)}=

נצמצם:

=\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} \frac{3x+1}{3x+6}=

ונציב שוב x=2:

=\frac{3\cdot 2+1}{3\cdot 2+6}=

=\frac{7}{12}

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 2^{-}} f(x)

כאשר x שואף ל-2 משמאל, x קרוב ל-2, אך קטן ממנו (למשל, 1.999999). בתרגיל שלנו, אנו מקבלים את אותה הפונקציה:

f(x) = \frac{3x^2-5x-2}{3x^2-12}

לכן, נקבל גם את אותה התוצאה בגבול:

\lim _ { x \rightarrow 2^{-}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 2^{-}}\frac{3x^2-5x-2}{3x^2-12}=

=\frac{7}{12}

קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים סופיים ושווים, אך שונים מערך הפונקציה בנקודה:

f(2)=1\neq \lim _ { x \rightarrow 2} f(x)

מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה אינה רציפה בנקודה x=2, ובנקודה זו יש נקודת אי-רציפות סליקה.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?