fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

רציפות של פונקציה – בדיקת רציפות – תרגיל 6220

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} 2x, &\quad x\leq 1\\ 2-x, &\quad x \geq 1\\ \end{cases}

האם היא רציפה?

תשובה סופית


לא

פתרון

הפונקציות בשני הענפים אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:

x=1

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 1_{+}} f(x)

כאשר x שואף ל-1 מימין, x קרוב ל-1, אך גדול ממנו (למשל, 1.00000001) ושם מתקיים:

f(x) = 2-x

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 1_{+}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 1_{+}}2-x=

=2-1=1

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 1_{-}} f(x)

כאשר x שואף ל-1 משמאל, x קרוב ל-1, אך קטן ממנו (למשל, 0.999999) ושם מתקיים:

f(x) = 2x

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 1_{-}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 1_{-}}2x=

=2\cdot 1=2

קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים סופיים, אך שונים:

2=\lim _ { x \rightarrow 1_{-}} f(x)\neq \lim _ { x \rightarrow 1_{+}} f(x)=1

מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה אינה רציפה בנקודה x=1, ובנקודה זו יש נקודת אי-רציפות קפיצה.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?