תרגיל
נתונה הפונקציה:
f(x) = \begin{cases} 2x, &\quad x\leq 1\\ 2-x, &\quad x \geq 1\\ \end{cases}
האם היא רציפה?
תשובה סופית
פתרון מפורט
הפונקציות בשני הענפים אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:
x=1
נחשב את הגבול מימין לנקודה:
\lim _ { x \rightarrow 1_{+}} f(x)
כאשר x שואף ל-1 מימין, x קרוב ל-1, אך גדול ממנו (למשל, 1.00000001) ושם מתקיים:
f(x) = 2-x
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 1_{+}} f(x)=
=\lim _ { x \rightarrow 1_{+}}2-x=
=2-1=1
כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:
\lim _ { x \rightarrow 1_{-}} f(x)
כאשר x שואף ל-1 משמאל, x קרוב ל-1, אך קטן ממנו (למשל, 0.999999) ושם מתקיים:
f(x) = 2x
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 1_{-}} f(x)=
=\lim _ { x \rightarrow 1_{-}}2x=
=2\cdot 1=2
קיבלנו ששני הגבולות החד-צדדיים סופיים, אך שונים:
2=\lim _ { x \rightarrow 1_{-}} f(x)\neq \lim _ { x \rightarrow 1_{+}} f(x)=1
מכאן, לפי הגדרת רציפות, הפונקציה אינה רציפה בנקודה x=1, ובנקודה זו יש נקודת אי-רציפות קפיצה.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
