fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

רציפות של פונקציה – פונקציה עם פרמטר – תרגיל 5876

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

f(x) = \begin{cases}x^k, &\quad x\leq 2\\ 2x+4, &\quad x > 2\\ \end{cases}

k פרמטר. עבור איזה ערך של k הפונקציה רציפה?

תשובה סופית

k=3

 

פתרון

הפונקציות בשני הענפים אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:

x=2

נחשב את הגבול מימין לנקודה:

\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} f(x)

כאשר x שואף ל-2 מימין, x קרוב ל-2, אך גדול ממנו (למשל, 2.00000001) ושם מתקיים:

f(x) = 2x+4

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 2^{+}}2x+4=

נציב ונקבל:

=2\cdot 2+4=8

כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:

\lim _ { x \rightarrow 2^{-}} f(x)

כאשר x שואף ל-2 משמאל, x קרוב ל-2, אך קטן ממנו (למשל, 1.99999) ושם מתקיים:

f(x) =x^k

לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 2^{-}} f(x)=

=\lim _ { x \rightarrow 2^{-}}x^k=

נציב ונקבל:

=2^k

כמו כן, הפונקציה מוגדרת בנקודה ומתקיים:

f(2)=2^k

לפי הגדרת רציפות, הפונקציה רציפה בנקודה x=2 כאשר הגבולות החד-צדדיים שווים אחד לשני ולערך הפונקציה בנקודה. לכן, נשווה את התוצאות ונקבל:

8=2^k

k=3

מכאן, הפונקציה רציפה בנקודה x=2 כאשר k=3.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?