תרגיל
נתונה הפונקציה:
f(x) = \begin{cases}x^k, &\quad x\leq 2\\ 2x+4, &\quad x > 2\\ \end{cases}
k פרמטר. עבור איזה ערך של k הפונקציה רציפה?
תשובה סופית
פתרון מפורט
הפונקציות בשני הענפים אלמנטריות, לכן צריך לבדוק רציפות רק בחיבור ביניהן, כלומר בנקודה:
x=2
נחשב את הגבול מימין לנקודה:
\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} f(x)
כאשר x שואף ל-2 מימין, x קרוב ל-2, אך גדול ממנו (למשל, 2.00000001) ושם מתקיים:
f(x) = 2x+4
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 2^{+}} f(x)=
=\lim _ { x \rightarrow 2^{+}}2x+4=
נציב ונקבל:
=2\cdot 2+4=8
כעת, נחשב את הגבול משמאל לנקודה, כלומר:
\lim _ { x \rightarrow 2^{-}} f(x)
כאשר x שואף ל-2 משמאל, x קרוב ל-2, אך קטן ממנו (למשל, 1.99999) ושם מתקיים:
f(x) =x^k
לכן, נציב את הפונקציה הזו בגבול ונקבל:
\lim _ { x \rightarrow 2^{-}} f(x)=
=\lim _ { x \rightarrow 2^{-}}x^k=
נציב ונקבל:
=2^k
כמו כן, הפונקציה מוגדרת בנקודה ומתקיים:
f(2)=2^k
לפי הגדרת רציפות, הפונקציה רציפה בנקודה x=2 כאשר הגבולות החד-צדדיים שווים אחד לשני ולערך הפונקציה בנקודה. לכן, נשווה את התוצאות ונקבל:
8=2^k
k=3
מכאן, הפונקציה רציפה בנקודה x=2 כאשר k=3.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
