fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת של פונקציה סתומה – חישוב נגזרת לפונקציה במשתנה אחד – תרגיל 6476

תרגיל 

נתון שהמשוואה:

y^x-x^y=0

מגדירה את הפונקציה הסתומה:

y(x)

מצאו את הנגזרת שלה.

תשובה סופית


y'(x)=-\frac{y^2(\ln x-1)}{x^2(1-\ln y)}

פתרון

נשתמש במשפט הפונקציה הסתומה.

נגדיר פונקציה חדשה. המשתנים שלה יהיו כל המשתנים המופיעים במשוואה. מקבלים את הפונקציה:

z(x,y)=y^x-x^y

נחשב את הנגזרות החלקיות של z:

z'_x=y^x\ln y-yx^{y-1}

z'_y=xy^{x-1}-x^y\ln x

כעת, נחשב את הנגזרת לפי נוסחת נגזרת לפונקציה סתומה:

y'(x)=\frac{-z'_x}{z'_y}=

=\frac{-(y^x\ln y-yx^{y-1})}{xy^{x-1}-x^y\ln x}=

מהמשוואה:

y^x-x^y=0

נובע שמתקיים:

y^x=x^y

נשתמש בשוויון הזה בנגזרת ונקבל:

=\frac{-(x^y\ln y-yx^{y-1})}{xy^{x-1}-y^x\ln x}=

=\frac{-x^y(\ln y-\frac{y}{x})}{y^x(\frac{x}{y}-\ln x)}=

=\frac{-x^y(\frac{x\ln y-y}{x})}{y^x(\frac{x-y\ln x}{y})}=

=\frac{-(\frac{x\ln y-y}{x})}{(\frac{x-y\ln x}{y})}=

=-\frac{x\ln y-y}{x}\cdot\frac{y}{x-y\ln x}=

=-\frac{xy\ln y-y^2}{x^2-xy\ln x}=

כמו כן, מהשוויון:

y^x=x^y

מקבלים:

\ln y^x=\ln x^y

x\ln y=y\ln x

נשתמש בשוויון שקיבלנו בנגזרת ונקבל:

=-\frac{y^2\ln x-y^2}{x^2-x^2\ln y}=

=-\frac{y^2(\ln x-1)}{x^2(1-\ln y)}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה