fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת של פונקציה סתומה – חישוב נגזרת לפונקציה בשני משתנים – תרגיל 6481

תרגיל 

נתון שהמשוואה:

e^{x+y+z}=(x^2+y^2)\cdot z+1

מגדירה את הפונקציה הסתומה:

x(y,z)

חשבו את הנגזרות החלקיות שלה בראשית:

x'_y(0,0),x'_z(0,0)

תשובה סופית


x'_y(0,0)=-1

x'_z(0,0)=-1

פתרון

ראשית, נציב את הנקודה:

(y,z)=(0,0)

במשוואה, כדי לקבל את ערך x בנקודה הזו. נקבל:

e^{x+0+0}=(x^2+0^2)\cdot 0+1

e^x=1

x=0

כעת, נפתור את התרגיל בעזרת משפט הפונקציה הסתומה. 

שלב ראשון, נעביר את כל האיברים במשוואה לאגף אחד:

e^{x+y+z}-(x^2+y^2)\cdot z-1=0

שלב שני, נגדיר פונקציה חדשה. המשתנים שלה יהיו כל המשתנים המופיעים במשוואה. מקבלים את הפונקציה:

u(x,y,z)=e^{x+y+z}-(x^2+y^2)\cdot z-1

נחשב את הנגזרות החלקיות של u:

u'_x=e^{x+y+z}-2xz

u'_y=e^{x+y+z}-2yz

u'_z=e^{x+y+z}-(x^2+y^2)

נחשב את הנגזרות החלקיות של x לפי נוסחת נגזרת לפונקציה סתומה.

נחשב את הנגזרת של x לפי y:

x'_y=\frac{-u'_y}{u'_x}=

=\frac{-(e^{x+y+z}-2yz)}{e^{x+y+z}-2xz}

נציב בנגזרת את הנקודה:

(y,z)=(0,0)

הערה: כפי שחישבנו לעיל, בנקודה זו מתקיים x=0.

ונקבל:

x'_y(0,0)=\frac{-(e^{0+0+0}-2\cdot 0\cdot 0)}{e^{0+0+0}-2\cdot 0\cdot 0}=

=\frac{-(1-0)}{1-0}=

=\frac{-1}{1}=

=-1

נחשב את הנגזרת של x לפי z:

x'_z=\frac{-u'_z}{u'_x}=

=\frac{-(e^{x+y+z}-(x^2+y^2))}{e^{x+y+z}-2xz}

נציב בנגזרת את הנקודה:

(y,z)=(0,0)

הערה: כפי שחישבנו לעיל, בנקודה זו מתקיים x=0.

ונקבל:

x'_z(0,0)=\frac{-(e^{0+0+0}-(0^2+0^2))}{e^{0+0+0}-2\cdot 0\cdot 0}=

=\frac{-(1-0)}{1-0}=

=\frac{-1}{1}=

=-1

לסיכום, קיבלנו:

x'_y(0,0)=-1

x'_z(0,0)=-1

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה