fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת של פונקציה סתומה – הוכחת משוואה עם נגזרות חלקיות – תרגיל 6485

תרגיל 

נתון שהפונקציה:

H(u,v)

גזירה ושהמשוואה:

H(\frac{x}{z},\frac{y}{z})=0

מגדירה את הפונקציה הסתומה:

z=f(x,y)

הוכיחו את המשוואה:

x\cdot z'_x+y\cdot z'_y=z

הוכחה

נגדיר משתנים חדשים:

u=\frac{x}{z}

v=\frac{y}{z}

קיבלנו את הפונקציה:

H(u,v)

ואת הפונקציות הפנימיות:

u(x,z)=\frac{x}{z}

v(y,z)=\frac{y}{z}

כדי לחשב את הנגזרות החלקיות של z, נשתמש בנוסחה (ממשפט הפונקציה הסתומה):

z'_x=\frac{-H'_x}{H'_z}

z'_y=\frac{-H'_y}{H'_z}

לפי הנוסחה, רואים שצריל לחשב את הנגזרות החלקיות של H לפי המשתנים x,y,z, אבל המשתנים של H הם u,v. לכן, נצטרך להשתמש בכלל השרשרת בגזירת H ונקבל:

H'_x=H'_u\cdot u'_x+H'_v\cdot v'_x

H'_y=H'_u\cdot u'_y+H'_v\cdot v'_y

H'_z=H'_u\cdot u'_z+H'_v\cdot v'_z

הפונקציות u,v נתונות לנו, ולכן אפשר לחשב את הנגזרות החלקיות שלהן.

נחשב את הנגזרות החלקיות של u:

u(x,z)=\frac{x}{z}

u'_x=\frac{1}{z}

u'_z=-\frac{x}{z^2}

המשתנה y אינו משתנה של הפונקציה u, ולכן מקבלים:

u'_y=0

נחשב את הנגזרות החלקיות של v:

v(y,z)=\frac{y}{z}

v'_y=\frac{1}{z}

v'_z=-\frac{y}{z^2}

המשתנה x אינו משתנה של הפונקציה v, ולכן מקבלים:

v'_x=0

נציב את הנגזרות החלקיות של u,v ונקבל:

H'_x=H'_u\cdot u'_x+H'_v\cdot v'_x=

=H'_u\cdot \frac{1}{z}+H'_v\cdot 0=

=\frac{1}{z}\cdot H'_u

H'_y=H'_u\cdot u'_y+H'_v\cdot v'_y=

=H'_u\cdot 0+H'_v\cdot \frac{1}{z}=

= \frac{1}{z}\cdot H'_v

H'_z=H'_u\cdot u'_z+H'_v\cdot v'_z=

=H'_u\cdot (-\frac{x}{z^2})+H'_v\cdot (-\frac{y}{z^2})

נציב את הנגזרות החלקיות של H בנגזרות החלקיות של z ונקבל:

z'_x=\frac{-H'_x}{H'_z}=

=\frac{-\frac{1}{z}\cdot H'_u}{-\frac{x}{z^2}\cdot H'_u-\frac{y}{z^2}\cdot H'_v}

z'_y=\frac{-H'_y}{H'_z}=

=\frac{-\frac{1}{z}\cdot H'_v}{-\frac{x}{z^2}\cdot H'_u-\frac{y}{z^2}\cdot H'_v}

נציב את הנגזרות החלקיות של z במשוואה שצריך להוכיח:

x\cdot z'_x+y\cdot z'_y=

=x\cdot \frac{-\frac{1}{z}\cdot H'_u}{-\frac{x}{z^2}\cdot H'_u-\frac{y}{z^2}\cdot H'_v}+y\cdot \frac{-\frac{1}{z}\cdot H'_v}{-\frac{x}{z^2}\cdot H'_u-\frac{y}{z^2}\cdot H'_v}=

=\frac{-\frac{x}{z}\cdot H'_u-\frac{y}{z}\cdot H'_v}{-\frac{x}{z^2}\cdot H'_u-\frac{y}{z^2}\cdot H'_v}=

=\frac{\frac{x}{z}\cdot H'_u+\frac{y}{z}\cdot H'_v}{\frac{x}{z^2}\cdot H'_u+\frac{y}{z^2}\cdot H'_v}=

=\frac{\frac{x}{z}\cdot H'_u+\frac{y}{z}\cdot H'_v}{\frac{1}{z}(\frac{x}{z}\cdot H'_u+\frac{y}{z}\cdot H'_v)}=

=\frac{1}{\frac{1}{z}}=

=z

הגענו ל-z כנדרש.

מ.ש.ל.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה