fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

עלייה, ירידה וקיצון – בעיות מינימום ומקסימום (שטח מקסימלי) – תרגיל 6884

תרגיל 

חשבו את מימדי המלבן בעל השטח המקסימלי שאפשר לחסום במעגל בעל רדיוס 10.

תשובה סופית

ריבוע בעל צלע שאורכה
10\sqrt{2}

פתרון

נבנה פונקציה שתחשב את שטח המלבן. נסמן ב-a את רוחב המלבן ונסמן ב-b את אורך המלבן. מכיוון שהמלבן חסום על ידי מעגל, אלכסוני המלבן נפגשים במרכז המעגל. ומכיוון שרדיוס המעגל הוא 10, מקבלים שאורך כל אלכסון הוא 20.

נשתמש במשפט פיתגורס ונקבל:

a^2+b^2=20^2

נבודד את b ונקבל:

b^2=20^2-a^2

b=\sqrt{400-a^2}

הערה: רק b חיובי מעניין אותנו, כי b מבטא אורך של המלבן.

נבנה פונקציה שתבטא את שטח המלבן:

s=a\cdot b=

=a\sqrt{400-a^2}

נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה:

400-a^2\geq 0

400\geq a^2

20\geq a

a מבטא אורך, ולכן חיובי. מכאן, תחום ההגדרה הוא

0\leq a\leq 20

רוצים למצוא שטח מקסימלי וזה שקול למציאת מקסימום בפונקציית השטח. לכן, נגזור ונשווה לאפס:

s'(a)=\sqrt{400-a^2}+a\cdot\frac{-2a}{2\sqrt{400-a^2}}=0

שימו לב שבגזירה נעזרנו בכלל המכפלה ובכלל ההרכבה (כלל שרשרת) מכללי הגזירה. נסדר את המשוואה שקיבלנו:

\sqrt{400-a^2}-\frac{a^2}{\sqrt{400-a^2}}=0

\frac{400-a^2-a^2}{\sqrt{400-a^2}}=0

שבר שווה לאפס כאשר המונה שווה לאפס:

400-2a^2=0

400=2a^2

200=a^2

a=\pm 10\sqrt{2}

אבל a מבטא את רוחב המלבן, ולכן חיובי. מכאן, קיבלנו נקודה חשודה אחת לקיצון מוחלט:

a=10\sqrt{2}

והיא בתחום ההגדרה.

גם קצות תחום ההגדרה הם נקודות חשודות לקיצון מוחלט. לכן, נציב גם את הנקודה שמצאנו (היא נקודת קיצון מקומי) וגם את קצות התחום בפונקציה ונראה איזו נקודה נותנת ערך מקסימלי:

s(0)=0

s(20)=0

s(10\sqrt{2})=200

מכאן, ערך מקסימלי מתקבל בנקודה:

a=10\sqrt{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה