fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

עלייה, ירידה וקיצון – בעיות מינימום ומקסימום (היקף מינימלי) – תרגיל 6887

תרגיל 

נתונה חלקה מלבנית ששטחה 3,200 מ”ר. שתי צלעות נגדיות של גדר עולות 10 ש”ח למטר, ושתי הצלעות הנותרות – 20 ש”ח למטר. אורכי הצלעות הם מספרים שלמים. מה הגידור הזול ביותר?

תשובה סופית

מלבן בעל הצלעות
40,80

פתרון

רוצים למצוא היקף למלבן בעל שטח 3,200 מ”ר, שייתן עלות גידור מינימלית. נבנה פונקציה שתחשב את עלות גידור המלבן. נסמן ב-a את רוחב המלבן ונסמן ב-b את אורך המלבן. מכיוון ששטח המלבן הוא 3,200 מ”ר, מתקיים:

a\cdot b=3,200

נבודד את b ונקבל:

b=\frac{3,200}{a}

נבנה פונקציה שתבטא את עלות הגידור:

y=10a+20\cdot \frac{3,200}{a}

נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה:

a\neq 0

a מבטא אורך, ולכן חיובי, ואינו יכול להיות אפס. מכיוון שאורכי הצלעות הם מספרים שלמים ומכיוון שאנו מוגבלים בשטח נתון – מקבלים תחום הגדרה סגור למשתנה a:

1\leq a\leq 3,200

רוצים למצוא עלות מינימלית וזה שקול למציאת מינימום מוחלט בפונקציה שבנינו.

בפונקציה רציפה הנקודות החשודות לקיצון מוחלט בתחום סגור הן נקודות קיצון מקומי בתחום וקצות התחום.

כדי למצוא נקודות קיצון מקומי, נגזור ונשווה לאפס:

y'(a)=10+20\cdot 3,200\cdot (\frac{-1}{a^2})=0

10a^2-64,000=0

a^2=6,400

a=\pm 80

אבל a מבטא אורך צלע במלבן, ולכן חיובי. מכאן, קיבלנו נקודה חשודה אחת לקיצון מוחלט:

a=80

נציב את הנקודה בפונקציה ונקבל:

y(80)=800

נציב את קצות תחום ההגדרה בפונקציה (גם הן נקודות חשודות לקיצון מוחלט):

y(1)=46,010

y(3,200)=32,020

נקודת הקיצון נתנה לנו את הערך הקטן ביותר, ולכן היא נקודת מינימום מוחלט.

אפשר לוודא שנקודת הקיצון שמצאנו היא מסוג מינימום. לשם כך, נגזור פעם שנייה ונציב את הנקודה:

y''(a)=-20\cdot 3,200\cdot (\frac{-2}{a^3})=

=\frac{128,000}{a^3}

y''(80)=\frac{128,000}{80^3}>0

מכיוון שקיבלנו תוצאה חיובית, הנקודה a=80 היא נקודת מינימום.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה