תרגיל
מצאו נקודות קיצון מוחלטות לפונקציה:
f(x)=x^3+3x^2-72x+90
בקטע הסגור:
[-5,5]
תשובה סופית
פתרון מפורט
הפונקציה רציפה לכל x. לכן, הנקודות החשודות לקיצון מוחלט (גלובלי) הן נקודות קיצון מקומיות וקצות הקטע.
נבדוק אם יש נקודות קיצון מקומיות בקטע. לשם כך, נגזור ונשווה לאפס:
f'(x)=3x^2+6x-72=0
קיבלנו משוואה ריבועית. נמצא את הפתרונות שלה (שורשים) בעזרת נוסחת השורשים:
x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot 3\cdot (-72)}}{2\cdot 3}=
=\frac{-6\pm\sqrt{900}}{6}
קיבלנו שני פתרונות:
x_1=\frac{-6+30}{6}=4
x_2=\frac{-6-30}{6}=-6
הנקודה x=-6 אינה בתחום, לכן קיבלנו נקודה אחת חשודה לקיצון מוחלט, x=4.
נציב את הנקודה בפונקציה ונקבל:
f(4)=4^3+3\cdot 4^2-72\cdot 4+90=-86
כעת נבדוק את קצות הקטע. נציב את קצות הקטע בפונקציה ונקבל:
f(5)=5^3+3\cdot 5^2-72\cdot 5+90=-70
f(-5)={(-5)}^3+3\cdot {(-5)}^2-72\cdot (-5)+90=400
הנקודה שבה מקבלים את הערך המקסימלי תהיה נקודת מקסימום מוחלטת בקטע, והנקודה שבה מקבלים את הערך המינימלי תהיה נקודת מינימום מוחלטת בקטע.
מכאן, יש לפונקציה נקודת מקסימום מוחלטת (גלובלית) בנקודה:
(-5,400)
ונקודת מינימום מוחלטת (גלובלית) בנקודה:
(4,-86)
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
