fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

עלייה, ירידה וקיצון – חישוב נקודות קיצון מוחלטות (גלובליות) לפולינום בערך מוחלט בקטע סגור – תרגיל 6918

תרגיל 

מצאו נקודות קיצון מוחלטות לפונקציה:

f(x)=|x^2-3x+2|

בקטע הסגור:

[-10,10]

תשובה סופית

\max_{[-10,10]}f(x)=132

\min_{[-10,10]}f(x)=0

פתרון

הפונקציה רציפה לכל x, בפרט בקטע הסגור. לכן, הנקודות החשודות לקיצון מוחלט (גלובלי) הן נקודות קיצון מקומיות וקצות הקטע.

קודם כל, נסדר את הפונקציה. נפרק את הפולינום לגורמים בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:

f(x)=|x^2-3x+2|=

=|(x-1)(x-2)|

נשתמש בהגדרת ערך מוחלט, כדי להיפטר ממנו:

f(x)= \begin{cases} (x-1)(x-2), &\quad (x-1)(x-2)\geq 0\\ -(x-1)(x-2), &\quad (x-1)(x-2)<0\\ \end{cases}=

=\begin{cases} x^2-3x+2, &\quad x\geq 2, x\leq 1\\ -x^2+3x-2, &\quad 1< x< 2\\ \end{cases}

נבדוק אם יש נקודות קיצון מקומיות בקטע. לשם כך, נגזור ונשווה לאפס. ראשית, ניפטר מהערך המוחלט לפי הגדרה:

f'(x)=\begin{cases} 2x-3, &\quad x\geq 2, x\leq 1\\ -2x+3, &\quad 1< x< 2\\ \end{cases}=0

קיבלנו לפתור את המשוואה:

2x-3=0

2x=3

x=\frac{3}{2}

או את המשוואה (אותו פתרון):

-2x+3=0

-2x=-3

x=\frac{3}{2}

קיבלנו נקודה חשודה לקיצון מוחלט. נציב את הנקודה בפונקציה ונקבל:

f(\frac{3}{2})=|{(\frac{3}{2})}^2-3\cdot \frac{3}{2}+2|=\frac{1}{4}

נציב את קצות הקטע בפונקציה ונקבל:

f(-10)=|{(-10)}^2-3\cdot (-10)+2|=|100+30+2|=132

f(10)=|10^2-3\cdot 10+2|=|100-30+2|=72

כעת, צריך לשים לב שהפתרונות של הפולינום שבתוך הערך המוחלט:

x=1, x=2

נמצאים בתוך התחום הסגור:

[-10,10]

ובגלל הערך המוחלט, נקודות אילו הופכות להיות נקודות מינימום, כי הערך המוחלט הופך את הפונקציה בתחום שבו הוא שלילי.

כך זה נראה:

הנקודה שבה מקבלים את הערך המקסימלי תהיה נקודת מקסימום מוחלטת בקטע, והנקודה שבה מקבלים את הערך המינימלי תהיה נקודת מינימום מוחלטת בקטע.

מכאן, יש לפונקציה נקודת מקסימום מוחלטת (גלובלית) בנקודה:

(-10,132)

ונקודת מינימום מוחלטת (גלובלית) בנקודה:

(1,0),(2,0)

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה