fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

עלייה, ירידה וקיצון – בעיות מינימום ומקסימום (נפח מקסימלי) – תרגיל 6897

תרגיל 

כדי לבנות תיבה פתוחה מריבוע קרטון שאורכך צלעו 12 ס”מ, גוזרים ריבועים זהים מכל 4 פינותיו ומקפלים את השוליים הנוצרים. מה צריך להיות אורך הצלע של הריבועים הנגזרים, כדי שתתקבל תיבה בעלת נפח מקסימלי?

תשובה סופית

a=2

פתרון

רוצים למצוא נפח מקסימלי לתיבה מקרטון בצורת ריבוע שצלעו 12 ס”מ. נבנה פונקציה שתחשב את נפח התיבה. נסמן ב-a את אורך הצלע של הריבועים שצריך לגזור ונסמן ב-b את אורך הצלע שנותרה לתיבה (לאחר גזיר הריבועים). מכיוון שהקרטון הוא ריבוע, תתקבל תיבה ריבועית. נפח התיבה הוא

V=ab^2

אפשר לבטא בעזרת a,b צלע של הקרטון, שאורכה 12, וכך מקבלים את המשוואה:

2a+b=12

נבודד את b ונקבל:

b=12-2a

נציב בפונקציית הנפח ונקבל:

V=a{(12-2a)}^2

נמצא את תחום ההגדרה. לפי הפונקציה הוא כל a, אבל מההגבלות שלנו – צלע הקרטון היא 12 – מקבלים:

1\leq a\leq 6

רוצים למצוא נפח מקסימלי וזה שקול למציאת מקסימום מוחלט בפונקציית הנפח.

בפונקציה רציפה הנקודות החשודות לקיצון מוחלט בתחום סגור הן נקודות קיצון מקומי בתחום וקצות התחום.

כדי למצוא נקודות קיצון מקומי, נגזור ונשווה לאפס:

V'(a)={(12-2a)}^2+a\cdot (12-2a)\cdot (-2)=0

נפתור את המשוואה:

{(12-2a)}^2+a\cdot (12-2a)\cdot (-2)=0

{(12-2a)}^2-4a(12-2a)=0

(12-2a)(12-2a-4a)=0

פתרון אחד הוא

12-2a=0

12=2a

6=a

ופתרון שני הוא

12-2a-4a=0

12=6a

2=a

קיבלנו שתי נקודות חשודות לקיצון. נציב את הנקודות בפונקציה ונקבל:

V(6)=6\cdot {(12-2\cdot 6)}^2=0

V(2)=2\cdot {(12-2\cdot 2)}^2=128

נציב את קצות תחום ההגדרה בפונקציה (גם הן נקודות חשודות לקיצון מוחלט):

V(1)=100

V(6)=0

הנקודה a=2 נתנה לנו את הערך הגדול ביותר, ולכן היא נקודת מקסימום מוחלט.

אפשר לוודא שנקודת הקיצון שמצאנו היא מסוג מקסימום. לשם כך, נגזור פעם שנייה ונציב את הנקודה:

V''(a)=2(12-2a)\cdot (-2)-48+16a=

=-48+8a-48+16a=

=-96+24a

y''(2)=-96+24\cdot 2<0

מכיוון שקיבלנו תוצאה שלילית, הנקודה a=2 היא נקודת מקסימום.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה