fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

עלייה, ירידה וקיצון – בעיות מינימום ומקסימום (שיפוע מקסימלי) – תרגיל 6893

תרגיל 

מצאו את הנקודה על העקומה:

y=\frac{1}{1+x^2}

שלישר המשיק בה יש השיפוע הגדול ביותר.

תשובה סופית

(-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{3}{4})

פתרון

רוצים למצוא את השיפוע המקסימלי והפונקציה שמבטאת שיפוע היא הנגזרת:

y'=-\frac{1}{{(1+x^2)}^2}\cdot 2x=\frac{-2x}{{(1+x^2)}^2}

הנגזרת היא הפונקציה שלנו. תחום ההגדרה הוא כל x. ולכן הנגזרת שלה תיתן נקודות חשודות לקיצון. נגזור שוב ונקבל:

y''=\frac{-2{(1+x^2)}^2+2x\cdot 2(1+x^2)\cdot 2x}{{(1+x^2)}^4}=

=\frac{-2{(1+x^2)}^2+8x^2(1+x^2)}{{(1+x^2)}^4}=

=\frac{-2{(1+x^2)}+8x^2}{{(1+x^2)}^3}=

=\frac{6x^2-2}{{(1+x^2)}^3}=0

המכנה תמיד חיובי, לכן המשוואה מתקיימת כאשר המונה שווה לאפס:

6x^2-2=0

6x^2=2

x^2=\frac{1}{3}

x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}

קיבלנו שתי נקודות חשודות לקיצון מוחלט. נציב אותן בפונקציה ונקבל:

y'(\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{-2\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}{{(1+{(\frac{1}{\sqrt{3}})}^2)}^2}=

=\frac{\frac{-2}{\sqrt{3}}}{{(1+\frac{1}{3})}^2}\approx -\frac{2.9}{16\sqrt{3}}

y'(-\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{-2\cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}})}{{(1+{(-\frac{1}{\sqrt{3}})}^2)}^2}=

=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{{(1+\frac{1}{3})}^2}\approx \frac{2.9}{16\sqrt{3}}

נקודת הקיצון השלילית נתנה לנו את הערך הגדול ביותר, ולכן היא נקודת מקסימום מוחלט.

נציב את הנקודה בפונקציה המקורית, כדי לקבל את ערך y שלה:

y(\frac{1}{\sqrt{3}})=\frac{1}{1+{(\frac{1}{\sqrt{3}})}^2}=\frac{3}{4}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה