fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

עלייה, ירידה וקיצון – בעיות מינימום ומקסימום (שטח פנים מינימלי) – תרגיל 6889

תרגיל 

בונים פחית גלילית פתוחה שניפחה 500 סמ”ק. באילו מימדים (רדיוס וגובה) תידרש כמות מינימלית של חומר לייצור הפחית? הניחו שאורך הרדיוס והגובה הם במספרים שלמים.

תשובה סופית

R=\frac{10}{\sqrt[3]{2\pi}}, H=\frac{5\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{\pi}}

פתרון

רוצים למצוא פחית בעלת שטח פנים מינימלי, כאשר נפחה הוא 500 סמ”ק. נסמן ב-H את גובה הפחית וב-R את הרדיוס שלה. נשתמש בנוסחה לנפח גליל ונקבל:

500=\pi HR^2

נבודד את H ונקבל:

H=\frac{500}{\pi R^2}

נבנה פונקציה שתבטא את שטח הפנים של הגליל. שטח הבסיס של הפחית או שטח המעגל:

\pi R^2

שטח הגליל (ללא הבסיס) הוא

2\pi R\cdot H=\frac{500}{\pi R^2}

מכאן, הפונקציה לחישוב נפח הפנים של הגליל היא

y(R)=\pi R^2+\frac{500}{\pi R^2}=

=\pi R^2+\frac{1000}{ R}

נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה – יש מכנה, ולכן נדרוש שיהיה שונה מאפס:

R\neq 0

ובאמת, R מבטא אורך, ולכן חיובי, ואינו יכול להיות אפס. מכיוון שאורך הרדיוס הוא מספר שלם ומכיוון שאנו מוגבלים בנפח נתון – מקבלים תחום הגדרה סגור למשתנה R:

1\leq R\leq \sqrt{\frac{500}{\pi}}

רוצים למצוא שטח פנים מינימלי וזה שקול למציאת מינימום מוחלט בפונקציה שבנינו.

בפונקציה רציפה הנקודות החשודות לקיצון מוחלט בתחום סגור הן נקודות קיצון מקומי בתחום וקצות התחום.

כדי למצוא נקודות קיצון מקומי, נגזור את הפונקציה ונשווה לאפס:

y'(R)=2\pi R-\frac{1000}{R^2}=0

2\pi R^3=1000

R^3=\frac{1000}{2\pi}

R=\frac{10}{\sqrt[3]{2\pi}}

קיבלנו נקודה חשודה לקיצון מוחלט. נציב את הנקודה בפונקציה ונקבל:

y(\frac{10}{\sqrt[3]{2\pi}})=189\sqrt[3]{\pi}\approx 432.76

נציב את קצות תחום ההגדרה בפונקציה (גם הן נקודות חשודות לקיצון מוחלט):

y(1)=\pi +1000\approx 1003.14

y(\sqrt{\frac{500}{\pi}})=500+\frac{1000\sqrt{\pi}}{\sqrt{500}}\approx 579.26

קיבלנו ערך מינימלי בנקודת הקיצון, ולכן היא נקודת מינימום מוחלט:

(\frac{10}{\sqrt[3]{2\pi}},\approx 432.76)

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה