fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

עלייה, ירידה וקיצון – חישוב נקודות קיצון מוחלטות (גלובליות) לפולינום בקטע סגור – תרגיל 6876

תרגיל 

מצאו נקודות קיצון מוחלטות לפונקציה:

f(x)=3x^4+4x^3-12x^2

בקטע הסגור:

[-3,2]

תשובה סופית

\max_{[-3,2]}f(x)=f(2)=32

\min_{[-3,2]}f(x)=f(-2)=-32

פתרון

הפונקציה רציפה לכל x. לכן, הנקודות החשודות לקיצון מוחלט (גלובלי) הן נקודות קיצון מקומיות וקצות הקטע.

נבדוק אם יש נקודות קיצון מקומיות בקטע. לשם כך, נגזור ונשווה לאפס:

f'(x)=12x^3+12x^2-24x=0

קיבלנו לפתור את המשוואה:

12x^3+12x^2-24x=0

x(12x^2+12x-24)=0

מכאן, פתרון אחד של המשוואה הוא

x=0

ופתרון שני הוא

12x^2+12x-24=0

נחלק ב-12:

x^2+x-2=0

קיבלנו משוואה ריבועית. נמצא את הפתרונות שלה (שורשים) בעזרת נוסחת השורשים:

x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2\cdot 1}=

=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2}

קיבלנו שני פתרונות:

x_1=\frac{-1+3}{2}=1

x_2=\frac{-1-3}{2}=-2

שלושת הפתרונות בתחום. לכן, קיבלנו 3 נקודות חשודות לקיצון מוחלט:

x=0, x=1, x=-2

נציב את הנקודות בפונקציה ונקבל:

f(0)=3\cdot 0^4+4\cdot 0^3-12\cdot 0^2=0

f(1)=3\cdot 1^4+4\cdot 1^3-12\cdot 1^2=-5

f(-2)=3\cdot {(-2)}^4+4\cdot {(-2)}^3-12\cdot {(-2)}^2=-32

כעת נבדוק את קצות הקטע. נציב את קצות הקטע בפונקציה ונקבל:

f(-3)=3\cdot {(-3)}^4+4\cdot {(-3)}^3-12\cdot {(-3)}^2=27

f(2)=3\cdot 2^4+4\cdot 2^3-12\cdot 2^2=32

הנקודה שבה מקבלים את הערך המקסימלי תהיה נקודת מקסימום מוחלטת בקטע, והנקודה שבה מקבלים את הערך המינימלי תהיה נקודת מינימום מוחלטת בקטע.

מכאן, יש לפונקציה נקודת מקסימום מוחלטת (גלובלית) בנקודה:

(2,32)

ונקודת מינימום מוחלטת (גלובלית) בנקודה:

(-2,-32)

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה