עלייה, ירידה וקיצון – חישוב נקודות קיצון מוחלטות (גלובליות) לפונקציה עם שורש בקטע סגור – תרגיל 6916

תרגיל 

מצאו נקודות קיצון מוחלטות לפונקציה:

$f(x)=\sqrt{5-4x}$

בקטע הסגור:

$[-1,1]$

תשובה סופית

הצגת תשובה סופית

פתרון מפורט

נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה:

$5-4x\geq 0$

$5\geq 4x$

$\frac{5}{4}\geq x$

מכאן, הפונקציה רציפה לכל x בתחום הסגור. לכן, הנקודות החשודות לקיצון מוחלט (גלובלי) הן נקודות קיצון מקומיות וקצות הקטע.

נבדוק אם יש נקודות קיצון מקומיות בקטע. לשם כך, נגזור ונשווה לאפס:

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{5-4x}}\cdot (-4)=0$

למשוואה זו אין פתרון. לכן, אין נקודות קיצון מקומיות.

נציב את קצות הקטע בפונקציה ונקבל:

$f(-1)=\sqrt{5-4\cdot (-1)}=3$

$f(1)=\sqrt{5-4\cdot 1}=1$

הנקודה שבה מקבלים את הערך המקסימלי תהיה נקודת מקסימום מוחלטת בקטע, והנקודה שבה מקבלים את הערך המינימלי תהיה נקודת מינימום מוחלטת בקטע.

מכאן, יש לפונקציה נקודת מקסימום מוחלטת (גלובלית) בנקודה:

$(-1,3)$

ונקודת מינימום מוחלטת (גלובלית) בנקודה:

$(1,1)$

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות