תרגיל
מצאו נקודות קיצון מוחלטות לפונקציה:
f(x)=2^x
בקטע הסגור:
[-1,5]
תשובה סופית
פתרון מפורט
הפונקציה רציפה לכל x. לכן, הנקודות החשודות לקיצון מוחלט (גלובלי) הן נקודות קיצון מקומיות וקצות הקטע.
נבדוק אם יש נקודות קיצון מקומיות בקטע. לשם כך, נגזור ונשווה לאפס:
f'(x)=2^x\ln 2=0
קיבלנו לפתור את המשוואה:
2^x\ln 2=0
אבל למשוואה זו אין פתרון. למעשה, תמיד מתקיים:
2^x\ln 2>0
לכן, אין נקודות קיצון מקומיות.
נציב את קצות הקטע בפונקציה ונקבל:
f(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2}
f(5)=2^5=32
הנקודה שבה מקבלים את הערך המקסימלי תהיה נקודת מקסימום מוחלטת בקטע, והנקודה שבה מקבלים את הערך המינימלי תהיה נקודת מינימום מוחלטת בקטע.
מכאן, יש לפונקציה נקודת מקסימום מוחלטת (גלובלית) בנקודה:
(5,32)
ונקודת מינימום מוחלטת (גלובלית) בנקודה:
(-1,\frac{1}{2})
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
