fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות שיעזרו לך להצליח!

הרשמו לצפייה בכל הפתרונות

עלייה, ירידה וקיצון – חישוב נקודות קיצון מוחלטות (גלובליות) לפונקציה מעריכית בקטע סגור – תרגיל 6911

תרגיל 

מצאו נקודות קיצון מוחלטות לפונקציה:

f(x)=2^x

בקטע הסגור:

[-1,5]

תשובה סופית

\max_{[-1,5]}f(x)=32

\min_{[-1,5]}f(x)=\frac{1}{2}

פתרון מפורט

הפונקציה רציפה לכל x. לכן, הנקודות החשודות לקיצון מוחלט (גלובלי) הן נקודות קיצון מקומיות וקצות הקטע.

נבדוק אם יש נקודות קיצון מקומיות בקטע. לשם כך, נגזור ונשווה לאפס:

f'(x)=2^x\ln 2=0

קיבלנו לפתור את המשוואה:

2^x\ln 2=0

אבל למשוואה זו אין פתרון. למעשה, תמיד מתקיים:

2^x\ln 2>0

לכן, אין נקודות קיצון מקומיות.

נציב את קצות הקטע בפונקציה ונקבל:

f(-1)=2^{-1}=\frac{1}{2}

f(5)=2^5=32

הנקודה שבה מקבלים את הערך המקסימלי תהיה נקודת מקסימום מוחלטת בקטע, והנקודה שבה מקבלים את הערך המינימלי תהיה נקודת מינימום מוחלטת בקטע.

מכאן, יש לפונקציה נקודת מקסימום מוחלטת (גלובלית) בנקודה:

(5,32)

ונקודת מינימום מוחלטת (גלובלית) בנקודה:

(-1,\frac{1}{2})

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה גישה לכל הפתרונות באתר?