fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

עלייה, ירידה וקיצון – חישוב נקודות קיצון מוחלטות (גלובליות) לפונקציה עם שורש שלישי בקטע סגור – תרגיל 6878

תרגיל 

מצאו נקודות קיצון מוחלטות לפונקציה:

f(x)=x^2\sqrt[3]{6x-7}

בקטע הסגור:

[-1,2]

תשובה סופית

\max_{[-1,2]}f(x)=f(2)=6.84

\min_{[-1,2]}f(x)=f(-1)=-2.35

פתרון

הפונקציה רציפה לכל x. לכן, הנקודות החשודות לקיצון מוחלט (גלובלי) הן נקודות קיצון מקומיות וקצות הקטע.

נבדוק אם יש נקודות קיצון מקומיות בקטע. לשם כך, נגזור ונשווה לאפס:

f'(x)=2x\sqrt[3]{6x-7}+x^2\cdot\frac{1}{3}{(6x-7)}^{-\frac{2}{3}}\cdot 6=0

נפתור את המשוואה.נעלה את המשוואה בשלישית ונקבל:

2x\sqrt[3]{6x-7}+2x^2{(6x-7)}^{-\frac{2}{3}}=0

8x^3(6x-7)+8x^6{(6x-7)}^{-2}=0

x^3(8(6x-7)+8x^3{(6x-7)}^{-2})=0

ופתרון אחד הוא

x^3=0

x=0

ופתרון שני הוא

8(6x-7)+8x^3{(6x-7)}^{-2}=0

(6x-7)+\frac{x^3}{{(6x-7)}^2}=0

\frac{{(6x-7)}^3+x^3}{{(6x-7)}^2}=0

המכנה תמיד חיובי, לכן המשוואה מתקיימת כאשר המונה שווה לאפס:

{(6x-7)}^3+x^3=0

{(6x-7)}^3=-x^3

6x-7=-x

7x=7

x=1

קיבלנו שני פתרונות:

x=0, x=1

שתי הנקודות בתחום. נציב אותן בפונקציה ונקבל:

f(0)=0^2\sqrt[3]{6\cdot 0-7}=0

f(1)=1^2\sqrt[3]{6\cdot 1-7}=-1

כעת נבדוק את קצות הקטע. נציב את קצות הקטע בפונקציה ונקבל:

f(-1)={(-1)}^2\sqrt[3]{6\cdot (-1)-7}=-\sqrt[3]{-13}\approx -2.35

f(2)=2^2\sqrt[3]{6\cdot 2-7}=4\sqrt[3]{5}\approx 6.84

הנקודה שבה מקבלים את הערך המקסימלי תהיה נקודת מקסימום מוחלטת בקטע, והנקודה שבה מקבלים את הערך המינימלי תהיה נקודת מינימום מוחלטת בקטע.

מכאן, יש לפונקציה נקודת מקסימום מוחלטת (גלובלית) בנקודה:

(2,6.84)

ונקודת מינימום מוחלטת (גלובלית) בנקודה:

(-1,-2.35)

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה