fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

עלייה, ירידה וקיצון – חישוב תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון למנה עם ln – תרגיל 6837

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

y=\frac{x}{\ln x}

מצאו את תחומי העלייה והירידה ואת נקודות הקיצון של הפונקציה.

תשובה סופית

תחומי עלייה

x>e

תחומי ירידה

0<x<e

נקודות קיצון

x=e

פתרון

נתונה הפונקציה:

y=\frac{x}{\ln x}

נגזור אותה בעזרת נוסחאות גזירה ונשווה לאפס:

y'=\frac{\ln x-x\cdot\frac{1}{x}}{\ln^2 x}=

=\frac{\ln x -1}{\ln^2 x}=0

קיבלנו את המשוואה:

\frac{\ln x -1}{\ln^2 x}=0

המכנה תמיד חיובי, ולכן המשוואה תתקיים רק כאשר המונה שווה לאפס:

\ln x -1=0

x=e

נקודה זו חשודה לקיצון מקומי. היא מחלקת את ציר x לשני חלקים:

x<e

x>e

כמו כן, נשים לב לתחום ההגדרה של הפונקציה. מכיוון שיש פונקציית ln, תחום ההגדרה הוא

x>0

ומכיוון שיש גם מכנה, נדרוש שהוא יהיה שונה מאפס:

\ln x\neq 0

x\neq 1

לכן, נוסיף את הנקודה x=0 לחלוקה של ציר x, כדי לזכור שלא צריך לקחת נקודה מתחת לאפס (לא בתחום ההגדרה). כמו כן, נוסיף את הנקודה x=1, כי זו נקודת אי-הגדרה ולכן יכולה להשפיע על תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

לסיכום, קיבלנו את החלוקה:

0<x<1

1<x<e

x>e

כדי למצוא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה, ניקח נקודה מכל חלק לעיל ונציב בנגזרת. אם נקבל תוצאה חיובית, הפונקציה עולה בתחום זה, ואם נקבל תוצאה שלילית, הפונקציה יורדת בתחום זה.

נתחיל בחלק הראשון:

0<x<1

ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:

x=\frac{1}{2}

נציב את הנקודה בנגזרת ונקבל:

y'(\frac{1}{2})=\frac{\ln \frac{1}{2} -1}{\ln^2 \frac{1}{2}}<0

קיבלנו תוצאה שלילית, ולכן הפונקציה יורדת בתחום זה.

נמשיך לחלק השני:

1<x<e

ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:

x=2

נציב את הנקודה בנגזרת ונקבל:

y'(2)=\frac{\ln 2 -1}{\ln^2 2}<0

קיבלנו תוצאה שלילית, ולכן הפונקציה יורדת בתחום זה.

נבדוק את החלק השני:

x>e

ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:

x=3

נציב את הנקודה בנגזרת ונקבל:

y'(3)=\frac{\ln 3 -1}{\ln^2 3}>0

קיבלנו תוצאה חיובית, ולכן הפונקציה עולה בתחום זה.

כעת, כדי לחשב את סוג נקודות הקיצון נבדוק אם קיבלנו מעבר מעלייה לירידה או להפך. אם כן, זו נקודת קיצון מקומית. אם עוברים מעלייה לירידה, נקודת הקיצון היא נקודת מקסימום. ואם עוברים מירידה לעלייה, נקודת הקיצון היא מינימום.

קיבלנו שהפונקציה יורדת לפני הנקודה x=e ועולה אחר כך, לכן יש בנקודה מינימום.

הנקודה x=1 אינה יכולה להיות קיצון, מכיוון שאינה בתחום ההגדרה של הפונקציה.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה