fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

עלייה, ירידה וקיצון – חישוב תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון למכפלה עם e – תרגיל 6831

תרגיל 

נתונה הפונקציה:

y=xe^{-3x}

מצאו את תחומי העלייה והירידה ואת נקודות הקיצון של הפונקציה.

תשובה סופית

תחומי עלייה

x<\frac{1}{3}

תחומי ירידה

x>\frac{1}{3}

נקודות קיצון

x=\frac{1}{3}

פתרון

נתונה הפונקציה:

y=xe^{-3x}

נגזור אותה בעזרת נוסחאות גזירה ונשווה לאפס:

y'=e^{-3x}+x\cdot (-3)\cdot e^{-3x}=

=e^{-3x}(1-3x)=0

קיבלנו את המשוואה:

e^{-3x}(1-3x)=0

הפונקציה המעריכית תמיד חיובית, לכן המשוואה מתקיימת כאשר מתקיים:

1-3x=0

3x=1

x=\frac{1}{3}

נקודה זו חשודה לקיצון מקומי. היא מחלקת את ציר x לשני חלקים:

x<\frac{1}{3}

x>\frac{1}{3}

כדי למצוא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה, ניקח נקודה מכל חלק לעיל ונציב בנגזרת. אם נקבל תוצאה חיובית, הפונקציה עולה בתחום זה, ואם נקבל תוצאה שלילית, הפונקציה יורדת בתחום זה.

נתחיל בחלק הראשון:

x<\frac{1}{3}

ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:

x=0

נציב את הנקודה בנגזרת ונקבל:

y'(0)=e^{-3\cdot 0}(1-3\cdot 0)=

=e^0(1- 0)=1>0

קיבלנו תוצאה חיובית, ולכן הפונקציה עולה בתחום זה.

נמשיך לחלק השני:

x>\frac{1}{3}

ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:

x=1

נציב את הנקודה בנגזרת ונקבל:

y'(1)=e^{-3\cdot 1}(1-3\cdot 1)=

y'(1)=e^{-3}(-2)<0

קיבלנו תוצאה שלילית, ולכן הפונקציה יורדת בתחום זה.

כעת, כדי לחשב את סוג נקודות הקיצון נבדוק אם קיבלנו מעבר מעלייה לירידה או להפך. אם כן, זו נקודת קיצון מקומית. אם עוברים מעלייה לירידה, נקודת הקיצון היא נקודת מקסימום. ואם עוברים מירידה לעלייה, נקודת הקיצון היא מינימום.

קיבלנו שהפונקציה עולה עד הנקודה שליש ויורדת אחר כך, לכן יש בנקודה מקסימום.

דרך נוספת למצוא את סוג נקודות הקיצון היא בעזרת הנגזרת השנייה:

y''=-3e^{-3x}\cdot (1-3x)+e^{-3x}\cdot (-3)=

=e^{-3x}\cdot (-3+9x-3)=

=e^{-3x}\cdot (9x-6)

נציב את הנקודה החשודה בנגזרת השנייה ונקבל:

y''(\frac{1}{3})=e^{-3\cdot \frac{1}{3}}\cdot (9\cdot \frac{1}{3}-6)=

=e^{-1}\cdot (3-6)=

=e^{-1}\cdot (-3)<0

קיבלנו תוצאה שלילית, ולכן יש בנקודה זו מקסימום מקומי.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה