תרגיל
נתונה הפונקציה:
y=-x^3{(x-2)}^2
מצאו את תחומי העלייה והירידה ואת נקודות הקיצון של הפונקציה.
תשובה סופית
פתרון מפורט
נתונה הפונקציה:
y=-x^3{(x-2)}^2
נסדר אותה לגזירה:
y=-x^3(x^2-4x+4)=
=-x^5+4x^4-4x^3
נגזור אותה בעזרת נוסחאות גזירה ונשווה לאפס:
y'=-5x^4+16x^3-12x^2=0
קיבלנו את המשוואה:
-5x^4+16x^3-12x^2=0
נפתור אותה:
-x^2(5x^2-16x+12)=0
קיבלנו שתי אפשרויות. אפשרות ראשונה:
-x^2=0
x=0
אפשרות שנייה:
5x^2-16x+12=0
זו משוואה ריבועית, ושורשיה הם:
x=2, x=1.2
לסיכום, קיבלנו שהפתרונות של המשוואה הם
x=0, x=2, x=1.2
אילו נקודות חשודות לקיצון מקומי. נקודות אילו מחלקות את ציר x לארבעה חלקים:
x<0
0<x<1.2
1.2<x<2
x>2
כדי למצוא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה, ניקח נקודה מכל חלק לעיל ונציב בנגזרת. אם נקבל תוצאה חיובית, הפונקציה עולה בתחום זה, ואם נקבל תוצאה שלילית, הפונקציה יורדת בתחום זה.
נתחיל בחלק הראשון:
x<0
ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:
x=-1
נציב את הנקודה בנגזרת ונקבל:
y'(-1)=-5\cdot {(-1)}^4+16\cdot {(-1)}^3-12\cdot {(-1)}^2=
=-5-16-12<0
קיבלנו תוצאה שלילית, ולכן הפונקציה יורדת בתחום זה.
נמשיך לחלק השני:
0<x<1.2
ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:
x=1
נציב את הנקודה בנגזרת ונקבל:
y'(1)=-5\cdot 1^4+16\cdot 1^3-12\cdot 1^2=-5+16-12=-1<0
קיבלנו תוצאה שלילית, ולכן הפונקציה יורדת בתחום זה.
נעבור לחלק השלישי:
1.2<x<2
ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:
x=\frac{3}{2}
נציב את הנקודה בנגזרת ונקבל:
y'(\frac{3}{2})=-5\cdot {(\frac{3}{2})}^4+16\cdot {(\frac{3}{2})}^3-12\cdot {(\frac{3}{2})}^2=
=- \frac{5\cdot 3^4}{16}+\frac{16\cdot 3^3}{8}- \frac{12\cdot9}{4}>0
קיבלנו תוצאה חיובית, ולכן הפונקציה עולה בתחום זה.
נבדוק את החלק הרביעי:
x>2
ניקח נקודה כלשהי בתחום, למשל הנקודה:
x=3
נציב את הנקודה בנגזרת ונקבל:
y'(3)=-5\cdot 3^4+16\cdot 3^3-12\cdot 3^2=24<0
קיבלנו תוצאה שלילית, ולכן הפונקציה יורדת בתחום זה.
כעת, כדי לחשב את סוג נקודות הקיצון נבדוק אם קיבלנו מעבר מעלייה לירידה או להפך. אם כן, זו נקודת קיצון מקומית. אם עוברים מעלייה לירידה, נקודת הקיצון היא נקודת מקסימום. ואם עוברים מירידה לעלייה, נקודת הקיצון היא מינימום.
קיבלנו שהפונקציה יורדת עד הנקודה x=0 ויורדת גם אחר כך, לכן בנקודה x=0 אין נקודת קיצון מקומי.
קיבלנו שהפונקציה יורדת לפני הנקודה x=1.2 ועולה אחריו, לכן בנקודה x=1.2 יש מינימום.
קיבלנו שהפונקציה עולה לפני הנקודה x=2 ויורדת אחר כך, לכן בנקודה x=2 יש מקסימום.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
