fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת לפי הגדרה – פונקציית שורש – תרגיל 1271

תרגיל 

מצאו לפי הגדרה את הנגזרת של הפונקציה:

f(x)=4-\sqrt{x+3}

תשובה סופית


f'(x)=\frac{-1}{2\sqrt{x+3}}

פתרון

נמצא את הנגזרת של הפונקציה בנקודה מסוימת, שנקרא לה:

x_0

נבנה את הגבול לחישוב הנגזרת לפי הגדרה:

f'(x_0)=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=

נציב את הפונקציה:

=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{4-\sqrt{x_0+h+3}-(4-\sqrt{x_0+3})}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{4-\sqrt{x_0+h+3}-4+\sqrt{x_0+3}}{h}=

=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x_0+3}-\sqrt{x_0+h+3}}{h}=

נשתמש בשיטת כפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה בצמוד של המונה. וכך נקבל:

=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{x_0+3}-\sqrt{x_0+h+3})(\sqrt{x_0+3}+\sqrt{x_0+h+3})}{h(\sqrt{x_0+3}+\sqrt{x_0+h+3})}=

=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{x_0+3-(x_0+h+3)}{h(\sqrt{x_0+3}+\sqrt{x_0+h+3})}=

=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{x_0+3-x_0-h-3}{h(\sqrt{x_0+3}+\sqrt{x_0+h+3})}=

=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{-h}{h(\sqrt{x_0+3}+\sqrt{x_0+h+3})}=

=\lim _ { h \rightarrow 0} \frac{-1}{\sqrt{x_0+3}+\sqrt{x_0+h+3}}=

נציב h=0 ונקבל:

=\frac{-1}{\sqrt{x_0+3}+\sqrt{x_0+0+3}}=

=\frac{-1}{\sqrt{x_0+3}+\sqrt{x_0+3}}=

=\frac{-1}{2\sqrt{x_0+3}}=

כלומר, הנגזרת הכללית של הפונקציה היא

=\frac{-1}{2\sqrt{x+3}}=

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה