fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא מסוים – פונקציה רציונלית (מנה של פולינומים) – תרגיל 1406

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int \frac{4}{x^2+2x-3} dx

תשובה סופית


\int \frac{4}{x^2+2x-3} dx=-\ln|x+3| +\ln|x-1|+c

פתרון

אין לנו נוסחת אינטגרציה לפונקציה רציונלית (מנה של פולינומים), לכן ננסה לפשט את הפונקציה לאיברים של פונקציות אלמנטריות עם פונקציה פנימית לינארית. כאשר מעלת הפולינום במונה קטנה ממעלת הפולינום במכנה, נפרק את הפולינום במכנה לגורמים אי-פריקים. בתרגיל שלנו, הפולינום במכנה ממעלה שנייה, ולכן נוכל לפרק אותו לגורמים בקלות בעזרת נוסחת השורשים:

x^2+2x-3=0

x _ {1,2} = \frac {- 2 \pm \sqrt{ 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot ( - 3)}}{2 \cdot 1}=

= \frac {- 2 \pm \sqrt{ 16}}{2 }=

= \frac {- 2 \pm 4}{2 }

x _ {1,2} = -3 , 1

מכאן, הפירוק של הפולינום הוא

x^2+2x-3=(x+3)(x-1)

נציב את זה באינטגרל ונקבל:

\int \frac{4}{x^2+2x-3} dx=

=\int \frac{4}{(x+3)(x-1)} dx

כעת, נפרק את המנה לשברים חלקיים. לשם כך, נגדיר שבר נפרד לכל גורם אי-פריק. את הגורם נשים במכנה, ובמונה נשים פולינום ממעלה אחת קטנה יותר ממעלת הפולינום במכנה. בתרגיל שלנו נקבל:

\frac{4}{(x+3)(x-1)}=\frac{A}{x+3} +\frac{B}{x-1}=

נעשה מכנה משותף ונקבל:

=\frac{A(x-1) +B(x+3)}{(x+3)(x-1)}=

=\frac{Ax-A+Bx+3B}{(x+3)(x-1)}=

כעת, נסדר את המונה לפולינום:

=\frac{(A+B)x+(3B-A)}{(x+3)(x-1)}

אנו רוצים שביטוי זה יהיה שווה לביטוי המקורי. לכן, נשווה ביניהם ונמצא עבור אלו ערכים של הפרמטרים A ו-B מתקיים שוויון:

\frac{4}{(x+3)(x-1)}=\frac{(A+B)x+(3B-A)}{(x+3)(x-1)}

המכנה בשני האגפים זהה. לכן, נשווה את המונים:

4=(A+B)x+(3B-A)

שני פולינומים שווים, אם המקדמים של האיברים המתאימים שווים, כלומר:

0=A+B

4=3B-A

נפתור את מערכת המשוואות שקיבלנו. מהמשוואה הראשונה מקבלים:

A=-B

נציב במשוואה השנייה ונקבל:

4=3B-(-B)

4=3B+B

4=4B

1=B

נציב במשוואה הראשונה ונקבל:

A=-1

נציב את התוצאה ונקבל:

\frac{4}{(x+3)(x-1)}=

=\frac{A}{x+3} +\frac{B}{x-1}=

=\frac{-1}{x+3} +\frac{1}{x-1}

נציב זאת באינטגרל ונקבל:

\int \frac{4}{x^2+2x-3} dx=

=\int \frac{-1}{x+3} +\frac{1}{x-1} dx=

עכשיו, אפשר להשתמש בנוסחאות אינטגרציה ומקבלים:

=-\ln|x+3| +\ln|x-1|+c

הסבר מפורט בוידאו

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה