fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל לא מסוים – פונקציה רציונלית (מנה של פולינומים) – תרגיל 1487

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int \frac{-2x^4+4x^2-1}{1-x^2} dx

תשובה סופית


\int \frac{-2x^4+4x^2-1}{1-x^2} dx=2\frac{x^3}{3} -2x+\frac{1}{2}\ln|1-x| -\frac{1}{2}\ln|1+x|+c

פתרון

אין לנו נוסחת אינטגרציה לפונקציה רציונלית (מנה של פולינומים), לכן ננסה לפשט את הפונקציה לאיברים של פונקציות אלמנטריות עם פונקציה פנימית לינארית. כאשר מעלת הפולינום במונה גדולה ממעלת הפולינום במכנה, נחלק את הפולינום במונה בפולינום במכנה בעזרת חילוק פולינומים כדי להגיע למנה, שבה הפולינום במונה ממעלה קטנה יותר מהפולינום במכנה. בתרגיל שלנו, חילוק פולינומים נותן את התוצאה:

\int \frac{-2x^4+4x^2-1}{1-x^2} dx=\int (2x^2 -2+\frac{1}{1-x^2}) dx=

את האיברים הראשונים נפתור בעזרת נוסחאות אינטגרציה:

=2\frac{x^3}{3} -2x+\int \frac{1}{1-x^2} dx

כעת, בתוך האינטגרל יש מנה של פולינומים, והפולינום במונה ממעלה קטנה יותר ממעלת הפולינום במכנה. נפרק את הפולינום במכנה לגורמים אי-פריקים:

1-x^2=(1-x)(1+x)

נציב את זה באינטגרל ונקבל:

\int \frac{1}{1-x^2} dx=

=\int \frac{1}{(1-x)(1+x)} dx

כעת, נפרק את המנה לשברים חלקיים. נעשה זאת כך: נגדיר שבר נפרד לכל גורם אי-פריק. את הגורם נשים במכנה, ובמונה נשים פולינום ממעלה אחת קטנה יותר ממעלת הפולינום במכנה. בתרגיל שלנו נקבל:

\frac{1}{(1-x)(1+x)} =\frac{A}{1-x} +\frac{B}{1+x}=

נעשה מכנה משותף ונקבל:

=\frac{A(1+x) +B(1-x)}{(1-x)(1+x)}=

=\frac{A+Ax+B-Bx}{(1-x)(1+x)}=

כעת, נסדר את המונה לפולינום:

=\frac{(A-B)x+(A+B)}{(1-x)(1+x)}

אנו רוצים שביטוי זה יהיה שווה לביטוי המקורי. לכן, נשווה ביניהם ונמצא עבור אלו ערכים של הפרמטרים A ו-B מתקיים שוויון:

\frac{1}{(1-x)(1+x)}=\frac{(A-B)x+(A+B)}{(1-x)(1+x)}

המכנה בשני האגפים זהה. לכן, נשווה את המונים:

1=(A-B)x+(A+B)

שני פולינומים שווים, אם המקדמים של האיברים המתאימים שווים, כלומר:

0=A-B

1=A+B

נפתור את מערכת המשוואות שקיבלנו. מהמשוואה הראשונה מקבלים:

A=B

נציב במשוואה השנייה ונקבל:

1=A+A

1=2A

A=\frac{1}{2}

נציב במשוואה הראשונה ונקבל:

B=-\frac{1}{2}

נציב את התוצאה ונקבל:

\frac{1}{(1-x)(1+x)}=

=\frac{A}{1-x} +\frac{B}{1+x}=

=\frac{1}{2}\frac{1}{1-x}-\frac{1}{2}\frac{1}{1+x}

נציב זאת באינטגרל ונקבל:

\int \frac{1}{(1-x)(1+x)}dx=

=\int \frac{1}{2}\frac{1}{1-x}-\frac{1}{2}\frac{1}{1+x} dx=

עכשיו, אפשר להשתמש בנוסחאות אינטגרציה ומקבלים:

=\frac{1}{2}\ln|1-x| -\frac{1}{2}\ln|1+x|+c

לכן, התשובה הסופית היא

\int \frac{-2x^4+4x^2-1}{1-x^2} dx=2\frac{x^3}{3} -2x+\frac{1}{2}\ln|1-x| -\frac{1}{2}\ln|1+x|+c

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה